Y=x^2+1 найти точки экстремума функции

Для нахождения точек экстремума функции ( y = x^2 + 1 ), необходимо рассмотреть производную этой функции и определить, где она равна нулю. Экстремумы функции (минимумы и максимумы) находятся в таких точках, где производная функции равна нулю или не существует.

1. Найдем первую производную функции: [ y = x^2 + 1 ] Производная функции ( y ) по переменной ( x ) равна: [ y' = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x ]

2. Найдем критические точки: Критические точки определяются из уравнения: [ y' = 2x = 0 ] Решив это уравнение, получаем: [ x = 0 ]

3. Определим характер критической точки: Чтобы определить, является ли эта точка минимумом, максимумом или точкой перегиба, рассмотрим вторую производную функции:

   Вторая производная: [ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(x^2 + 1) = \frac{d}{dx}(2x) = 2 ]

   Поскольку вторая производная ( y'' = 2 ) больше нуля для всех ( x ), это говорит о том, что функция имеет в данной точке локальный минимум.

4. Определим значение функции в критической точке: Подставим ( x = 0 ) в оригинальную функцию, чтобы найти значение в этой точке: [ y(0) = 0^2 + 1 = 1 ]

Таким образом, функция ( y = x^2 + 1 ) имеет локальный минимум в точке ( (0, 1) ). Поскольку это квадратичная функция, которая открывается вверх (коэффициент при ( x^2 ) положителен), данная точка также является глобальным минимумом для всей функции. Функция не имеет точек максимума.

Для того чтобы найти точки экстремума функции y = x^2 + 1, нужно найти ее производную и приравнять ее к нулю.

Сначала найдем производную данной функции: y' = 2x. Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти точки экстремума: 2x = 0. Решив это уравнение, получаем, что x = 0.

Теперь найдем значение y в точке x = 0: y(0) = 0^2 + 1 = 1.

Итак, точка экстремума функции y = x^2 + 1 равна (0, 1). Это минимум функции, так как значение y в этой точке равно 1, а функция y = x^2 + 1 всегда больше или равна 1.