Y=-9x+x^3 исследовать функцию и построить ее график

Чтобы исследовать функцию ( y = -9x + x^3 ) и построить её график, давайте рассмотрим несколько аспектов: область определения, точки пересечения с осями, поведение на бесконечности, критические точки, интервалы возрастания и убывания, а также выпуклость и точки перегиба.

1. Область определения:

Функция ( y = -9x + x^3 ) определена для всех действительных чисел ( x ), то есть область определения: ( x \in \mathbb{R} ).

2. Точки пересечения с осями:

• Пересечение с осью ( y ): Подставляем ( x = 0 ): [ y = -9 \times 0 + 0^3 = 0 ] Таким образом, функция пересекает ось ( y ) в точке ( (0, 0) ).

• Пересечение с осью ( x ): Решаем уравнение ( -9x + x^3 = 0 ): [ x(-9 + x^2) = 0 ] Это уравнение имеет решения ( x = 0 ) и ( x = \pm 3 ). Таким образом, точки пересечения с осью ( x ): ( (-3, 0) ), ( (0, 0) ), ( (3, 0) ).

3. Поведение на бесконечности:

Рассмотрим пределы функции при ( x \to \pm\infty ):

• При ( x \to +\infty ), ( x^3 ) доминирует над (-9x), поэтому ( y \to +\infty ).
• При ( x \to -\infty ), ( x^3 ) также доминирует, но с отрицательным знаком, поэтому ( y \to -\infty ).

4. Критические точки:

Найдём критические точки, исследуя производную функции: [ y' = \frac{d}{dx}(-9x + x^3) = -9 + 3x^2 ] Уравняем производную к нулю для нахождения критических точек: [ 3x^2 - 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{3} ]

5. Интервалы возрастания и убывания:

Исследуем знаки производной на интервалах:

• Для ( x \in (-\infty, -\sqrt{3}) ), ( y' = 3x^2 - 9 > 0 ), функция возрастает.
• Для ( x \in (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) ), ( y' = 3x^2 - 9 < 0 ), функция убывает.
• Для ( x \in (\sqrt{3}, \infty) ), ( y' = 3x^2 - 9 > 0 ), функция возрастает.

6. Выпуклость и точки перегиба:

Найдём вторую производную: [ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(-9x + x^3) = 6x ] Исследуем знаки второй производной:

• Для ( x < 0 ), ( y'' = 6x < 0 ), функция вогнута.
• Для ( x > 0 ), ( y'' = 6x > 0 ), функция выпукла.

Точка перегиба находится при ( y'' = 0 ), то есть ( x = 0 ). Точка перегиба: ( (0, 0) ).

7. График функции:

На основе проведенного анализа, график функции проходит через точки ( (-3, 0) ), ( (0, 0) ), ( (3, 0) ), имеет критические точки в ( x = \pm \sqrt{3} ), точку перегиба в ( (0, 0) ) и изменяет выпуклость в этой точке.

График функции напоминает кубическую параболу, которая пересекает ось ( x ) в трёх точках и имеет симметрию относительно точки перегиба ( (0, 0) ).

Итог:

Функция ( y = -9x + x^3 ) исследована и имеет следующие свойства:

• Область определения: ( x \in \mathbb{R} ).
• Точки пересечения с осями: ( (-3, 0) ), ( (0, 0) ), ( (3, 0) ).
• Интервалы возрастания: ( (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty) ).
• Интервалы убывания: ( (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) ).
• Точка перегиба: ( (0, 0) ).
• Выпуклость: вогнута при ( x < 0 ), выпукла при ( x > 0 ).

Для исследования функции Y = -9x + x^3 можно провести анализ ее поведения при изменении переменной x.

1. Найдем точки пересечения с осями координат:

   • При x = 0: Y = 0
   • При Y = 0: 0 = -9x + x^3 => x^3 = 9x => x(x^2 - 9) = 0 => x(x-3)(x+3) = 0 Точки пересечения с осями координат: (0,0), (3,0), (-3,0)

2. Найдем точки экстремума функции: Y' = -9 + 3x^2 = 0 => x^2 = 3 => x = ±√3 Y(√3) = -9√3 + 3√3 = -6√3 Y(-√3) = 6√3

3. Исследуем поведение функции при увеличении и уменьшении переменной x:

   • При x → +∞: Y → +∞
   • При x → -∞: Y → -∞

4. Построим график функции Y = -9x + x^3: (Вставьте здесь график функции с учетом найденных точек пересечения и экстремумов)

Таким образом, функция Y = -9x + x^3 имеет точки пересечения с осями координат, точки экстремума и характерное поведение при изменении переменной x.