Y=4x-x2-3 построить график функции . найдите промежутки возрастания функции

Для начала, давайте рассмотрим функцию $y=4x-x^2-3$. Это квадратичная функция, которую можно перезаписать в стандартной форме:

$y=-x^2+4x-3$

1. Построение графика функции

График данной функции — это парабола, открытая вниз $таккаккоэффициентпри(x^2$ отрицательный). Чтобы построить график, нужно определить несколько ключевых характеристик:

a. Вершина параболы

Вершина параболы находится по формуле $x=-\frac{b}{2a}$, где $a$ и $b$ — коэффициенты при $x^2$ и $x$ соответственно.

Здесь $a=-1$ и $b=4$:

$x=-\frac{4}{2\cdot (-1)}=2$

Теперь подставим $x=2$ в уравнение функции, чтобы найти соответствующее значение $y$:

$y=-2^2+4\cdot 2-3=-4+8-3=1$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2,1$ ).

b. Нахождение корней уравнения

Чтобы найти корни функции, приравняем её к нулю:

$-x^2+4x-3=0$

Умножим уравнение на -1, чтобы упростить:

$x^2-4x+3=0$

Теперь можно воспользоваться формулой дискриминанта:

$D=b^2-4ac=4^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$

Корни уравнения находятся по формуле:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{4\pm 2}{2}$

Это даёт:

$x_1=\frac{6}{2}=3,x_2=\frac{2}{2}=1$

Таким образом, корни функции — это точки $x=1$ и $x=3$.

c. Построение графика

Теперь, имея информацию о вершине и корнях, можно построить график:

1. Нанести точки: вершина $(2,1$ ), корни $(1,0$ ) и $(3,0$ ).
2. Парабола будет открыта вниз и проходить через эти точки.

2. Промежутки возрастания и убывания функции

Теперь найдем промежутки возрастания функции. Для этого найдем производную функции:

$y^{\prime }=\frac{d}{dx}(4x-x^2-3)=4-2x$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$4-2x=0⟹2x=4⟹x=2$

Теперь определим знак производной на промежутках:

1. Для $x<2$: возьмём, например, $x=0$: $y^{\prime }=4-2\cdot 0=4>0\text{(функция возрастает)}$

2. Для $x>2$: возьмём, например, $x=3$: $y^{\prime }=4-2\cdot 3=-2<0\text{(функция убывает)}$

Итак, функция возрастает на интервале $(-\mathrm{\infty },2$ ) и убывает на интервале $(2,+\mathrm{\infty }$ ).

Ответ

График функции $y=4x-x^2-3$ представляет собой параболу, открытую вниз, с вершиной в точке $(2,1$ ) и корнями в точках $(1,0$ ) и $(3,0$ ).

Промежутки возрастания функции:

• Функция возрастает на интервале $(-\mathrm{\infty },2$ ).
• Функция убывает на интервале $(2,+\mathrm{\infty }$ ).

Давайте подробно разберем, как построить график функции $y=4x-x^2-3$ и как найти промежутки её возрастания.

Шаг 1. Анализ функции

Функция $y=4x-x^2-3$ является квадратичной, так как в ней присутствует член $-x^2$, который определяет её форму. Это парабола, так как старший член $(-x^2$) имеет степень 2. Знак перед $x^2$ отрицательный, значит, ветви параболы направлены вниз.

Шаг 2. Найдём вершину параболы

Форма квадратичной функции — это $y=a{x}^2+bx+c$, где:

• $a=-1$,
• $b=4$,
• $c=-3$.

Координата вершины параболы по оси $x$ находится по формуле: [ x{\text{вершина}} = -\frac{b}{2a}. ] Подставим значения $a=-1$ и $b=4$: [ x{\text{вершина}} = -\frac{4}{2$-1$} = \frac{4}{2} = 2. ]

Теперь найдём значение функции в точке $x=2$, чтобы получить координату вершины $y_{\text{вершина}}$: $y=4(2)-(2{)}^2-3=8-4-3=1.$ Итак, вершина параболы имеет координаты $(2,1$ ).

Шаг 3. Найдём точки пересечения с осями

1. Пересечение с осью $y$: Для этого подставим $x=0$ в уравнение функции: $y=4(0)-(0{)}^2-3=-3.$ Значит, точка пересечения с осью $y$ — это $(0,-3$ ).

2. Пересечение с осью $x$: Для этого найдём нули функции, решив уравнение $y=0$: $4x-x^2-3=0.$ Упростим и перепишем: $-x^2+4x-3=0\text{или}{x}^2-4x+3=0.$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D=b^2-4ac=(-4{)}^2-4(1)(3)=16-12=4.$ Найдём корни: $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-4)\pm \sqrt{4}}{2(1)}=\frac{4\pm 2}{2}.$ Получаем: $x_1=\frac{4+2}{2}=3,x_2=\frac{4-2}{2}=1.$ Значит, точки пересечения с осью $x$: $(1,0$ ) и $(3,0$ ).

Шаг 4. Построим график

1. Вершина параболы — это точка $(2,1$ ).
2. Точки пересечения с осями: $(0,-3$ ), $(1,0$ ), $(3,0$ ).
3. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ $(a=-1$) отрицательный.

На основе этих данных можно построить график: отметьте вершину, точки пересечения и нарисуйте плавную линию параболы, проходящую через них.

Шаг 5. Найдём промежутки возрастания

Функция возрастает, когда её производная положительна $(y^{\prime }(x$ > 0 )).

1. Найдём производную функции: $y^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}[4x-x^2-3$ = 4 - 2x. ]

2. Решим неравенство $y^{\prime }(x$ > 0 ): $4-2x>0.$ Упростим: $2x<4\Rightarrow x<2.$

3. Значит, функция возрастает на интервале $(-\mathrm{\infty },2$ ).

Шаг 6. Найдём промежутки убывания

Функция убывает, когда её производная отрицательна $(y^{\prime }(x$ < 0 )).

1. Решим неравенство $y^{\prime }(x$ < 0 ): $4-2x<0.$ Упростим: $2x>4\Rightarrow x>2.$

2. Значит, функция убывает на интервале $(2,+\mathrm{\infty }$ ).

Итог

1. Промежуток возрастания функции: $(-\mathrm{\infty },2$ ).
2. Промежуток убывания функции: $(2,+\mathrm{\infty }$ ).
3. Вершина параболы: $(2,1$ ).
4. Точки пересечения с осями: $(0,-3$ ), $(1,0$ ), $(3,0$ ).