Y=1\2x^2 и y=4-x Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями.Сделать чертеж

Для того чтобы найти точки пересечения двух функций y=1/2x^2 и y=4-x, мы должны приравнять их: 1/2x^2 = 4 - x 1/2x^2 + x - 4 = 0

Решая это квадратное уравнение, мы найдем две точки пересечения функций: x = -4 и x = 2.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя функциями, нужно найти интеграл от одной функции до другой между точками пересечения. Интеграл будет выглядеть следующим образом:

∫[x1, x2] (f(x) - g(x)) dx

Где f(x) и g(x) - наши функции y=1/2x^2 и y=4-x соответственно, x1 и x2 - точки пересечения (-4 и 2).

После вычисления этого интеграла мы получим площадь фигуры, ограниченной этими двумя функциями.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми ( y = \frac{1}{2}x^2 ) и ( y = 4 - x ), нужно выполнить несколько шагов: найти точки пересечения, определить пределы интегрирования, а затем вычислить интеграл разности функций.

Шаг 1: Найти точки пересечения

Решаем уравнение (\frac{1}{2}x^2 = 4 - x).

Переносим все члены в одну сторону уравнения: [ \frac{1}{2}x^2 + x - 4 = 0. ]

Умножим на 2 для избавления от дроби: [ x^2 + 2x - 8 = 0. ]

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта ( D ): [ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36. ]

Корни уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}. ]

Таким образом, ( x_1 = 2 ) и ( x_2 = -4 ).

Шаг 2: Определить пределы интегрирования

Пределы интегрирования будут от ( x = -4 ) до ( x = 2 ).

Шаг 3: Построить интеграл разности функций

Найдем площадь между кривыми ( y = 4 - x ) (верхняя функция) и ( y = \frac{1}{2}x^2 ) (нижняя функция).

Формула для площади ( A ) между двумя кривыми ( y_1 ) и ( y2 ) на интервале ([a, b]) выглядит так: [ A = \int{a}^{b} (y_1 - y_2) \, dx. ]

В нашем случае: [ A = \int_{-4}^{2} \left( (4 - x) - \frac{1}{2}x^2 \right) \, dx. ]

Шаг 4: Вычислить интеграл

Преобразуем подынтегральное выражение: [ A = \int_{-4}^{2} \left( 4 - x - \frac{1}{2}x^2 \right) \, dx. ]

Вычисляем интеграл: [ \int (4 - x - \frac{1}{2}x^2) \, dx = \int 4 \, dx - \int x \, dx - \int \frac{1}{2}x^2 \, dx. ]

Рассчитываем каждый интеграл по отдельности: [ \int 4 \, dx = 4x, ] [ \int x \, dx = \frac{x^2}{2}, ] [ \int \frac{1}{2}x^2 \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{x^3}{6}. ]

Подставляем результаты: [ \int{-4}^{2} \left( 4 - x - \frac{1}{2}x^2 \right) \, dx = \left[ 4x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} \right]{-4}^{2}. ]

Теперь вычислим значения на пределах интегрирования:

Для ( x = 2 ): [ 4(2) - \frac{(2)^2}{2} - \frac{(2)^3}{6} = 8 - 2 - \frac{8}{6} = 8 - 2 - \frac{4}{3} = 6 - \frac{4}{3} = \frac{18}{3} - \frac{4}{3} = \frac{14}{3}. ]

Для ( x = -4 ): [ 4(-4) - \frac{(-4)^2}{2} - \frac{(-4)^3}{6} = -16 - 8 + \frac{64}{6} = -16 - 8 + \frac{32}{3} = -24 + \frac{32}{3} = -\frac{72}{3} + \frac{32}{3} = -\frac{40}{3}. ]

Вычисляем разность: [ \frac{14}{3} - \left( -\frac{40}{3} \right) = \frac{14}{3} + \frac{40}{3} = \frac{54}{3} = 18. ]

Ответ

Площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = \frac{1}{2}x^2 ) и ( y = 4 - x ), равна 18.

Чертеж

Для наглядности можно построить чертеж:

1. Кривая ( y = \frac{1}{2}x^2 ) — это парабола, вершина которой находится в точке (0,0) и ветви направлены вверх.
2. Прямая ( y = 4 - x ) — это наклонная прямая с отрицательным углом наклона, пересекающая оси в точках (0,4) и (4,0).

Точки пересечения (2, 2) и (-4, 8) можно отметить на графике. Заштрихованная область между этими кривыми от ( x = -4 ) до ( x = 2 ) представляет собой искомую площадь.

Площадь фигуры ограниченной этими линиями равна 6.5 (квадратные единицы).