X-2=под корнем^3 x^2-8

Рассмотрим уравнение ( x - 2 = \sqrt[3]{x^2 - 8} ).

Цель — найти такие значения ( x ), которые удовлетворяют этому уравнению. Для этого мы будем работать с обеими частями уравнения.

1. Кубирование обеих сторон:

   Чтобы избавиться от кубического корня, возведем обе стороны уравнения в куб:

   [ (x - 2)^3 = (\sqrt[3]{x^2 - 8})^3 ]

   Это упрощает уравнение до:

   [ (x - 2)^3 = x^2 - 8 ]

2. Раскрытие куба:

   Теперь раскроем левую часть уравнения:

   [ (x - 2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 ]

   Таким образом, уравнение становится:

   [ x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = x^2 - 8 ]

3. Перенос всех членов в одну сторону:

   Перенесем все члены влево:

   [ x^3 - 6x^2 + 12x - 8 - x^2 + 8 = 0 ]

   Упростим:

   [ x^3 - 7x^2 + 12x = 0 ]

4. Факторизация:

   Вынесем общий множитель ( x ):

   [ x(x^2 - 7x + 12) = 0 ]

   Это дает нам два случая:

   • ( x = 0 )
   • ( x^2 - 7x + 12 = 0 )

5. Решение квадратного уравнения:

   Для решения квадратного уравнения ( x^2 - 7x + 12 = 0 ), найдем его корни с помощью дискриминанта:

   Дискриминант ( D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 ).

   Корни уравнения:

   [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 1}{2} ]

   Получаем два корня:

   [ x_1 = \frac{8}{2} = 4 ]

   [ x_2 = \frac{6}{2} = 3 ]

6. Проверка всех решений:

   У нас есть три потенциальных решения: ( x = 0 ), ( x = 3 ), ( x = 4 ).

   • Для ( x = 0 ): [ 0 - 2 = \sqrt[3]{0^2 - 8} \Rightarrow -2 = \sqrt[3]{-8} \Rightarrow -2 = -2 ] Условие выполняется.

   • Для ( x = 3 ): [ 3 - 2 = \sqrt[3]{3^2 - 8} \Rightarrow 1 = \sqrt[3]{1} \Rightarrow 1 = 1 ] Условие выполняется.

   • Для ( x = 4 ): [ 4 - 2 = \sqrt[3]{4^2 - 8} \Rightarrow 2 = \sqrt[3]{8} \Rightarrow 2 = 2 ] Условие выполняется.

Таким образом, решениями уравнения ( x - 2 = \sqrt[3]{x^2 - 8} ) являются ( x = 0 ), ( x = 3 ) и ( x = 4 ).

Для решения данного уравнения сначала приведем его к квадратному виду. Возводим обе части уравнения в куб: (X-2)^3 = (под корнем^3 x^2-8)^3 X^3 - 6X^2 + 12X - 8 = x^2 - 8 X^3 - 6X^2 + 12X - 8 = x^2 - 8

Теперь приведем уравнение к виду кубического уравнения: X^3 - 6X^2 + 12X - 8 - X^2 + 8 = 0 X^3 - 7X^2 + 12X = 0

Далее, чтобы найти корни уравнения, можно воспользоваться методами решения кубических уравнений, например, методом подстановок или методом Кардано.