Выполните действие ((5+2i)/(2-5i))-((3-4i)/(4+3i))

Чтобы найти значение выражения ((5+2i)/(2-5i))-((3-4i)/(4+3i)), нам нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Упрощение каждой дроби

Для упрощения комплексных дробей мы используем метод умножения числителя и знаменателя на сопряжённое знаменателя.

Для первой дроби ((5+2i)/(2-5i)):

1. Сопряжённое знаменателя: 2 + 5i
2. Умножаем числитель и знаменатель на 2 + 5i: [ \frac{5+2i}{2-5i} \cdot \frac{2+5i}{2+5i} = \frac{(5+2i)(2+5i)}{(2-5i)(2+5i)} ]
3. Вычисляем числитель: [ (5+2i)(2+5i) = 5 \cdot 2 + 5 \cdot 5i + 2i \cdot 2 + 2i \cdot 5i = 10 + 25i + 4i + 10i^2 = 10 + 29i - 10 = 29i ]
4. Вычисляем знаменатель (используя формулу разности квадратов): [ (2-5i)(2+5i) = 2^2 + (5i)^2 = 4 - 25i^2 = 4 + 25 = 29 ]
5. Итак, первая дробь упрощается до: [ \frac{29i}{29} = i ]

Для второй дроби ((3-4i)/(4+3i)):

1. Сопряжённое знаменателя: 4 - 3i
2. Умножаем числитель и знаменатель на 4 - 3i: [ \frac{3-4i}{4+3i} \cdot \frac{4-3i}{4-3i} = \frac{(3-4i)(4-3i)}{(4+3i)(4-3i)} ]
3. Вычисляем числитель: [ (3-4i)(4-3i) = 3 \cdot 4 - 3 \cdot 3i - 4i \cdot 4 + 4i \cdot 3i = 12 - 9i - 16i + 12i^2 = 12 - 25i - 12 = -25i ]
4. Вычисляем знаменатель: [ (4+3i)(4-3i) = 4^2 + (3i)^2 = 16 - 9i^2 = 16 + 9 = 25 ]
5. Итак, вторая дробь упрощается до: [ \frac{-25i}{25} = -i ]

Шаг 2: Вычитание полученных значений

[ i - (-i) = i + i = 2i ]

Итак, значение выражения ((5+2i)/(2-5i))-((3-4i)/(4+3i)) равно 2i.

Для выполнения данного действия нужно сначала привести оба слагаемых к общему знаменателю. Умножим первое слагаемое на (4+3i)/(4+3i) и второе слагаемое на (2-5i)/(2-5i):

((5+2i)/(2-5i))-((3-4i)/(4+3i)) = ((5+2i)(4+3i))/((2-5i)(4+3i)) - ((3-4i)(2-5i))/((4+3i)(2-5i)) = (20 + 15i + 8i + 6i^2) / (8 - 20i + 6i - 15i^2) - (6 - 15i + 8i - 20i^2) / (8 - 20i + 6i - 15i^2) = (20 + 23i - 6) / (8 - 20i + 6i + 15) - (6 - 7i - 20) / (8 - 20i + 6i + 15) = (14 + 23i) / (23 - 20i) - (-14 - 7i) / (23 - 20i) = (14 + 23i + 14 + 7i) / (23 - 20i) = (28 + 30i) / (23 - 20i).

Получаем итоговый результат: (28 + 30i) / (23 - 20i).