Вычислите интеграл ∫41 (4/х^2+2x-3x^2)dx

Для решения данного интеграла (\int \frac{4}{x^2 + 2x - 3x^2} \, dx), сначала упростим подынтегральное выражение. Переставим члены в знаменателе:

[ \frac{4}{x^2 + 2x - 3x^2} = \frac{4}{-2x^2 + 2x + x^2} = \frac{4}{-2x^2 + 2x} = \frac{4}{-2(x^2 - x)} = \frac{-2}{x(x-1)}. ]

Теперь интеграл принимает вид:

[ \int \frac{-2}{x(x-1)} \, dx. ]

Далее разложим дробь на простейшие:

[ \frac{-2}{x(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1}. ]

Найдем коэффициенты (A) и (B). Для этого уравняем:

[ -2 = A(x-1) + Bx. ]

При (x = 0): [ -2 = A \cdot (-1) \implies A = 2. ]

При (x = 1): [ -2 = B \cdot 1 \implies B = -2. ]

Таким образом, исходный интеграл можно переписать как:

[ \int \left(\frac{2}{x} - \frac{2}{x-1}\right) \, dx = 2 \int \frac{1}{x} \, dx - 2 \int \frac{1}{x-1} \, dx. ]

Интегрируя, получаем:

[ 2 \ln|x| - 2 \ln|x-1| + C, ]

где (C) – константа интегрирования.

Подставляя в ответ, окончательно имеем:

[ \int \frac{4}{x^2 + 2x - 3x^2} \, dx = 2 \ln|x| - 2 \ln|x-1| + C. ]

Для решения данного интеграла сначала разложим дробь на простейшие дроби:

4/(x^2 + 2x - 3x^2) = 4/(x^2 - 3x + 2x - 3x^2) = 4/(x(x - 3) - x(3x - 2)) = 4/(x(x - 3) - x(3x - 2)) = 4/(x(x - 3) - x(3x - 2)) = 4/(x - 3)(x + 1)

Теперь можем записать интеграл в виде суммы интегралов простейших дробей:

∫41 (4/(x - 3)(x + 1))dx = ∫41 (A/(x - 3) + B/(x + 1))dx

Находим коэффициенты A и B, умножив обе части уравнения на (x - 3)(x + 1):

4 = A(x + 1) + B(x - 3)

4 = Ax + A + Bx - 3B

4 = (A + B)x + (A - 3B)

Сравниваем коэффициенты при x:

A + B = 0 A - 3B = 4

Решаем систему уравнений:

A = 3 B = -3

Подставляем найденные коэффициенты в исходный интеграл:

∫41 (3/(x - 3) - 3/(x + 1))dx

Теперь можем интегрировать каждую часть по отдельности:

∫41 (3/(x - 3))dx = 3ln|x - 3| + C1 ∫41 (-3/(x + 1))dx = -3ln|x + 1| + C2

Где C1 и C2 - произвольные постоянные интегрирования.

Таким образом, интеграл ∫41 (4/(x^2+2x-3x^2)dx равен:

3ln|x - 3| - 3ln|x + 1| + C, где C = C1 + C2.