Вычислите интеграл ∫41 $4/{х}^2+2x-3x^2$dx

Для решения данного интеграла $\int \frac{4}{x^2+2x-3x^2}dx$, сначала упростим подынтегральное выражение. Переставим члены в знаменателе:

$\frac{4}{x^2+2x-3x^2}=\frac{4}{-2x^2+2x+x^2}=\frac{4}{-2x^2+2x}=\frac{4}{-2(x^2-x)}=\frac{-2}{x(x-1)}.$

Теперь интеграл принимает вид:

$\int \frac{-2}{x(x-1)}dx.$

Далее разложим дробь на простейшие:

$\frac{-2}{x(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}.$

Найдем коэффициенты $A$ и $B$. Для этого уравняем:

$-2=A(x-1)+Bx.$

При $x=0$: $-2=A\cdot (-1)⟹A=2.$

При $x=1$: $-2=B\cdot 1⟹B=-2.$

Таким образом, исходный интеграл можно переписать как:

$\int (\frac{2}{x}-\frac{2}{x-1})dx=2\int \frac{1}{x}dx-2\int \frac{1}{x-1}dx.$

Интегрируя, получаем:

$2\ln |x|-2\ln |x-1|+C,$

где $C$ – константа интегрирования.

Подставляя в ответ, окончательно имеем:

$\int \frac{4}{x^2+2x-3x^2}dx=2\ln |x|-2\ln |x-1|+C.$

Для решения данного интеграла сначала разложим дробь на простейшие дроби:

4/$x^2+2x-3x^2$ = 4/$x^2-3x+2x-3x^2$ = 4/$x(x-3$ - x$3x-2$) = 4/$x(x-3$ - x$3x-2$) = 4/$x(x-3$ - x$3x-2$) = 4/$x-3$$x+1$

Теперь можем записать интеграл в виде суммы интегралов простейших дробей:

∫41 $4/(x-3$$x+1$)dx = ∫41 $A/(x-3$ + B/$x+1$)dx

Находим коэффициенты A и B, умножив обе части уравнения на $x-3$$x+1$:

4 = A$x+1$ + B$x-3$

4 = Ax + A + Bx - 3B

4 = $A+B$x + $A-3B$

Сравниваем коэффициенты при x:

A + B = 0 A - 3B = 4

Решаем систему уравнений:

A = 3 B = -3

Подставляем найденные коэффициенты в исходный интеграл:

∫41 $3/(x-3$ - 3/$x+1$)dx

Теперь можем интегрировать каждую часть по отдельности:

∫41 $3/(x-3$)dx = 3ln|x - 3| + C1 ∫41 $-3/(x+1$)dx = -3ln|x + 1| + C2

Где C1 и C2 - произвольные постоянные интегрирования.

Таким образом, интеграл ∫41 $4/(x^2+2x-3x^2$dx равен:

3ln|x - 3| - 3ln|x + 1| + C, где C = C1 + C2.