Вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями : y= -x^2+4 , y=0

Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями, необходимо найти точки их пересечения.

Сначала найдем точки пересечения графика функции y = -x^2 + 4 с осью абсцисс (y = 0): 0 = -x^2 + 4 x^2 = 4 x = ±2

Таким образом, точки пересечения графика с осью абсцисс имеют координаты (2, 0) и (-2, 0).

Теперь найдем точки пересечения графиков функций y = -x^2 + 4 и y = 0: -x^2 + 4 = 0 x^2 = 4 x = ±2

Точки пересечения графиков имеют координаты (2, 0) и (-2, 0), что совпадает с предыдущими результатами.

Таким образом, фигура, ограниченная линиями y = -x^2 + 4 и y = 0, представляет собой параболу с вершиной в точке (0, 4), которая пересекает ось абсцисс в точках (2, 0) и (-2, 0).

Для вычисления площади данной фигуры можно воспользоваться определенным интегралом: S = ∫[a,b] |f(x)| dx

Где a и b - координаты точек пересечения графика с осью абсцисс, f(x) - уравнение параболы.

Подставляя значения, получим: S = ∫[-2,2] |-x^2 + 4| dx

Вычисляя данный интеграл, получим площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями ( y = -x^2 + 4 ) и ( y = 0 ), нужно найти границы интегрирования и затем вычислить определённый интеграл.

1. Найти точки пересечения кривых:

   Для нахождения точек пересечения, приравняем ( y = -x^2 + 4 ) к ( y = 0 ): [ -x^2 + 4 = 0 ] Решим уравнение: [ x^2 = 4 \implies x = \pm 2 ] Таким образом, точки пересечения кривых находятся в ( x = -2 ) и ( x = 2 ).

2. Выразить площадь через интеграл:

   Площадь фигуры, ограниченной кривыми ( y = -x^2 + 4 ) и ( y = 0 ), можно выразить как интеграл функции ( y = -x^2 + 4 ) от ( x = -2 ) до ( x = 2 ): [ \text{Площадь} = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 4) \, dx ]

3. Вычислить определённый интеграл:

   Для вычисления интеграла сначала найдём первообразную функции: [ \int (-x^2 + 4) \, dx = \int -x^2 \, dx + \int 4 \, dx ] [ \int -x^2 \, dx = -\frac{x^3}{3}, \quad \int 4 \, dx = 4x ] Таким образом, [ \int (-x^2 + 4) \, dx = -\frac{x^3}{3} + 4x ]

4. Подставить пределы интегрирования и вычислить:

   Теперь подставим пределы интегрирования ( x = -2 ) и ( x = 2 ) в первообразную: [ \left[ -\frac{x^3}{3} + 4x \right]_{-2}^{2} = \left( -\frac{2^3}{3} + 4 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} + 4 \cdot (-2) \right) ] [ = \left( -\frac{8}{3} + 8 \right) - \left( -\left( \frac{-8}{3} \right) - 8 \right) ] [ = \left( -\frac{8}{3} + 8 \right) - \left( \frac{8}{3} - 8 \right) ] [ = \left( -\frac{8}{3} + \frac{24}{3} \right) - \left( \frac{8}{3} - \frac{24}{3} \right) ] [ = \left( \frac{16}{3} \right) - \left( -\frac{16}{3} \right) ] [ = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = -x^2 + 4 ) и ( y = 0 ), равна ( \frac{32}{3} ) квадратных единиц.