Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y= -x^2+2x и y=0
Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y= -x^2+2x и y=0
Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми ( y = -x^2 + 2x ) и ( y = 0 ), необходимо определить границы интегрирования и вычислить определённый интеграл.
Определение точек пересечения кривых: Чтобы найти точки пересечения кривых ( y = -x^2 + 2x ) и ( y = 0 ), приравняем их друг к другу:
[ -x^2 + 2x = 0 ]
Решим это уравнение:
[ x(-x + 2) = 0 ]
Отсюда имеем два корня:
[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 2 ]
Таким образом, точки пересечения кривых — это ( x = 0 ) и ( x = 2 ).
Интегрирование функции для нахождения площади: Площадь фигуры между кривыми можно найти, используя определённый интеграл от одной функции до другой в пределах найденных границ. В данном случае это:
[ \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x) \, dx ]
Вычисление интеграла: Для вычисления интеграла сначала найдём первообразную функции ( -x^2 + 2x ):
[ \int (-x^2 + 2x) \, dx = \int -x^2 \, dx + \int 2x \, dx ]
[ = -\frac{x^3}{3} + x^2 + C ]
Теперь применим пределы интегрирования от 0 до 2:
[ \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{0}^{2} ]
Подставим верхний предел ( x = 2 ):
[ -\frac{2^3}{3} + 2^2 = -\frac{8}{3} + 4 ]
Подставим нижний предел ( x = 0 ):
[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 = 0 ]
Вычтем значение при нижнем пределе из значения при верхнем пределе:
[ \left( -\frac{8}{3} + 4 \right) - 0 = -\frac{8}{3} + 4 ]
Приведём к общему знаменателю:
[ -\frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{4}{3} ]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = -x^2 + 2x ) и ( y = 0 ), равна ( \frac{4}{3} ).
Ответ: (\frac{4}{3}) квадратных единиц.
Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя функциями, необходимо найти точки их пересечения, затем провести вертикальные линии от каждой точки пересечения до оси x и вычислить интеграл разности функций между этими вертикальными линиями.
Найдем точки пересечения двух функций: -x^2 + 2x = 0 x(-x + 2) = 0 Таким образом, x=0 или x=2.
Проведем вертикальные линии от x=0 до x=2 и найдем разность функций: ∫[0, 2] (-x^2 + 2x)dx
Выполним интегрирование: ∫[0, 2] (-x^2 + 2x)dx = -[x^3/3] + [x^2] |[0, 2] = -(2^3/3) + 2^2 = -8/3 + 4 = 4/3
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y= -x^2+2x и y=0 равна 4/3 или примерно 1.33.
