Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=6x-x^2 , y=0

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=6x-x^2 и y=0, необходимо найти точки пересечения этих двух функций.

Уравнение y=6x-x^2 задает параболу, которая пересекается с осью ординат в точке (0,0) и имеет вершину в точке (3,9). Уравнение y=0 задает ось абсцисс.

Для того чтобы найти точки пересечения параболы и оси абсцисс, необходимо решить уравнение 6x-x^2=0. Получаем x(6-x)=0, откуда x=0 или x=6.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=6x-x^2 и y=0 равна интегралу от 0 до 6 функции y=6x-x^2 dx.

Вычислим данный интеграл: ∫(6x-x^2)dx = 3x^2 - (x^3)/3. Подставляем пределы интегрирования от 0 до 6: 3*6^2 - (6^3)/3 - (0 - 0) = 108 - 72 = 36.

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y=6x-x^2 и y=0, равна 36 квадратных единиц.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = 6x - x^2 ) и ( y = 0 ), нам нужно вычислить определённый интеграл. Функция ( y = 6x - x^2 ) описывает параболу, которая открыта вниз, а линия ( y = 0 ) представляет собой ось абсцисс (ось ( x )).

Шаг 1: Найдём точки пересечения.

Для этого приравняем уравнения: [ 6x - x^2 = 0. ]

Разложим уравнение: [ x(6 - x) = 0. ]

Отсюда находим корни: [ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 6. ]

Таким образом, точки пересечения параболы и оси ( x ) — это ( x = 0 ) и ( x = 6 ).

Шаг 2: Вычислим площадь.

Площадь под кривой от ( x = 0 ) до ( x = 6 ) можно найти, вычислив интеграл от ( 6x - x^2 ) по ( x ) на этом интервале: [ \int_{0}^{6} (6x - x^2) \, dx. ]

Вычислим этот интеграл: [ \int (6x - x^2) \, dx = \int 6x \, dx - \int x^2 \, dx. ]

Вычисляем каждое из слагаемых: [ \int 6x \, dx = 6 \cdot \frac{x^2}{2} = 3x^2, ] [ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}. ]

Таким образом, интеграл принимает вид: [ \int (6x - x^2) \, dx = 3x^2 - \frac{x^3}{3}. ]

Теперь подставим пределы интегрирования: [ \left[ 3x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{6}. ]

Подставим верхний предел: [ 3(6)^2 - \frac{(6)^3}{3} = 3 \cdot 36 - \frac{216}{3} = 108 - 72 = 36. ]

Подставим нижний предел: [ 3(0)^2 - \frac{(0)^3}{3} = 0. ]

Следовательно, площадь фигуры равна: [ 36 - 0 = 36. ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = 6x - x^2 ) и ( y = 0 ), составляет 36 квадратных единиц.