Вероятность события А в одном испытании равна 1/2. Найдите вероятность того, что в серии из 6 независимых...

Чтобы найти вероятность того, что событие ( A ) произойдет ровно 5 раз в серии из 6 независимых испытаний, где вероятность одного события ( A ) равна ( \frac{1}{2} ), мы используем биномиальное распределение.

Биномиальное распределение описывает число успешных исходов в серии независимых испытаний с двумя возможными исходами (успех или неудача). Вероятность успеха в одном испытании обозначается как ( p ), а вероятность неудачи — как ( q = 1 - p ).

В данном случае:

• ( n = 6 ) — общее число испытаний,
• ( k = 5 ) — число испытаний, в которых мы хотим получить успех,
• ( p = \frac{1}{2} ) — вероятность успеха в одном испытании.

Формула биномиального распределения для вычисления вероятности получения ровно ( k ) успехов в ( n ) испытаниях выглядит следующим образом:

[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} ]

Здесь (\binom{n}{k}) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как:

[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]

Подставим значения в формулу:

1. Вычислим биномиальный коэффициент (\binom{6}{5}):

[ \binom{6}{5} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6 \times 5!}{5! \times 1} = 6 ]

1. Подставим в формулу биномиального распределения:

[ P(X = 5) = \binom{6}{5} \left(\frac{1}{2}\right)^5 \left(\frac{1}{2}\right)^{6-5} ]

[ = 6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5 \times \left(\frac{1}{2}\right)^1 ]

[ = 6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^6 ]

[ = 6 \times \frac{1}{64} ]

[ = \frac{6}{64} ]

[ = \frac{3}{32} ]

Таким образом, вероятность того, что событие ( A ) произойдет ровно 5 раз в серии из 6 независимых испытаний, равна (\frac{3}{32}).

Для нахождения вероятности того, что событие А произойдет 5 раз из 6 независимых испытаний, мы можем воспользоваться формулой Бернулли.

Сначала найдем вероятность того, что событие А произойдет ровно 5 раз из 6 испытаний. Это можно сделать следующим образом: у нас есть 6 испытаний, из которых событие А должно произойти 5 раз, а не произойти 1 раз. Тогда вероятность каждого из этих 5 испытаний, где событие А произойдет, равна 1/2, а вероятность того, что событие А не произойдет, равна 1 - 1/2 = 1/2.

Тогда вероятность того, что событие А произойдет 5 раз и не произойдет 1 раз из 6 испытаний будет равна: (1/2)^5 * (1/2)^1 = 1/2^6 = 1/64

Теперь, чтобы найти вероятность того, что событие А произойдет 5 раз из 6 испытаний (не обязательно подряд), нужно умножить эту вероятность на количество способов, которыми можно выбрать 5 испытаний из 6 для события А. Это можно сделать по формуле сочетаний: C(6, 5) = 6! / (5!(6-5)!) = 6.

Итак, вероятность того, что событие А произойдет 5 раз из 6 независимых испытаний, равна: 1/64 * 6 = 6/64 = 3/32.