Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться,...

Рассмотрим задачу пошагово.

Условия задачи:

1. Ваня задумал трехзначное число ( ABC ), где ( A ), ( B ), и ( C ) — цифры числа.
   • ( A ), ( B ), и ( C ) — целые числа от 0 до 9.
   • ( A \neq 0 ), так как число трехзначное.
   • Все цифры числа различны: ( A \neq B ), ( A \neq C ), ( B \neq C ).
2. Последняя цифра ( C ) равна сумме первых двух цифр:
   [ C = A + B ]
3. Поскольку ( C ) — это цифра (от 0 до 9), требуется, чтобы: [ A + B \leq 9 ]

Нужно определить, какие значения может принимать ( C ) (последняя цифра числа).

Решение:

1. Ограничения на ( A ) и ( B ):

• ( A ) — первая цифра, поэтому ( 1 \leq A \leq 9 ) (A ≠ 0).
• ( B ) — вторая цифра, поэтому ( 0 \leq B \leq 9 ).
• ( C = A + B ), и так как ( C ) — цифра, то ( A + B \leq 9 ).

2. Возможные значения ( C ):

• Сумма ( A + B ) может принимать значения от 1 до 9 (поскольку ( A \geq 1 )).

3. Условие уникальности цифр:

• Все цифры в числе ( ABC ) различны, то есть ( C \neq A ), ( C \neq B ), и ( A \neq B ). Это накладывает дополнительные ограничения на выбор ( A ), ( B ), и ( C ).

Проверка возможных значений ( C ):

Переберем все допустимые значения ( C ) от 1 до 9 и проверим, можно ли найти такие ( A ) и ( B ), которые удовлетворяют всем условиям.

Для ( C = 1 ):

[ A + B = 1 ] Варианты:

• ( A = 1, B = 0 ).
  Число: 110. Не подходит, так как ( A = C ), цифры не различны.

Нет подходящих вариантов для ( C = 1 ).

Для ( C = 2 ):

[ A + B = 2 ] Варианты:

• ( A = 2, B = 0 ).
  Число: 201. Подходит, цифры различны.
• ( A = 1, B = 1 ). Не подходит, цифры ( A ) и ( B ) не различны.

Итак, ( C = 2 ) возможно. Пример числа: 201.

Для ( C = 3 ):

[ A + B = 3 ] Варианты:

• ( A = 3, B = 0 ).
  Число: 302. Подходит, цифры различны.
• ( A = 2, B = 1 ).
  Число: 213. Подходит, цифры различны.
• ( A = 1, B = 2 ).
  Число: 123. Подходит, цифры различны.

Итак, ( C = 3 ) возможно. Примеры чисел: 302, 213, 123.

Для ( C = 4 ):

[ A + B = 4 ] Варианты:

• ( A = 4, B = 0 ).
  Число: 403. Подходит, цифры различны.
• ( A = 3, B = 1 ).
  Число: 314. Подходит, цифры различны.
• ( A = 2, B = 2 ). Не подходит, цифры ( A ) и ( B ) не различны.
• ( A = 1, B = 3 ).
  Число: 134. Подходит, цифры различны.

Итак, ( C = 4 ) возможно. Примеры чисел: 403, 314, 134.

Для ( C = 5 ):

[ A + B = 5 ] Варианты:

• ( A = 5, B = 0 ).
  Число: 504. Подходит, цифры различны.
• ( A = 4, B = 1 ).
  Число: 415. Подходит, цифры различны.
• ( A = 3, B = 2 ).
  Число: 325. Подходит, цифры различны.
• ( A = 2, B = 3 ).
  Число: 235. Подходит, цифры различны.
• ( A = 1, B = 4 ).
  Число: 145. Подходит, цифры различны.

Итак, ( C = 5 ) возможно. Примеры чисел: 504, 415, 325, 235, 145.

Для ( C = 6 ):

[ A + B = 6 ] Варианты:

• ( A = 6, B = 0 ).
  Число: 605. Подходит, цифры различны.
• ( A = 5, B = 1 ).
  Число: 516. Подходит, цифры различны.
• ( A = 4, B = 2 ).
  Число: 426. Подходит, цифры различны.
• ( A = 3, B = 3 ). Не подходит, цифры ( A ) и ( B ) не различны.
• ( A = 2, B = 4 ).
  Число: 246. Подходит, цифры различны.
• ( A = 1, B = 5 ).
  Число: 156. Подходит, цифры различны.

Итак, ( C = 6 ) возможно. Примеры чисел: 605, 516, 426, 246, 156.

Для ( C = 7 ):

[ A + B = 7 ] Варианты:

• ( A = 7, B = 0 ).
  Число: 706. Подходит, цифры различны.
• ( A = 6, B = 1 ).
  Число: 617. Подходит, цифры различны.
• ( A = 5, B = 2 ).
  Число: 527. Подходит, цифры различны.
• ( A = 4, B = 3 ).
  Число: 437. Подходит, цифры различны.
• ( A = 3, B = 4 ).
  Число: 347. Подходит, цифры различны.
• ( A = 2, B = 5 ).
  Число: 257. Подходит, цифры различны.
• ( A = 1, B = 6 ).
  Число: 167. Подходит, цифры различны.

Итак, ( C = 7 ) возможно. Примеры чисел: 706, 617, 527, 437, 347, 257, 167.

Для ( C = 8 ):

[ A + B = 8 ] Варианты:

• ( A = 8, B = 0 ).
  Число: 807. Подходит, цифры различны.
• ( A = 7, B = 1 ).
  Число: 718. Подходит, цифры различны.
• ( A = 6, B = 2 ).
  Число: 628. Подходит, цифры различны.
• ( A = 5, B = 3 ).
  Число: 538. Подходит, цифры различны.
• ( A = 4, B = 4 ). Не подходит, цифры ( A ) и ( B ) не различны.
• ( A = 3, B = 5 ).
  Число: 358. Подходит, цифры различны.
• ( A = 2, B = 6 ).
  Число: 268. Подходит, цифры различны.
• ( A = 1, B = 7 ).
  Число: 178. Подходит, цифры различны.

Итак, ( C = 8 ) возможно. Примеры чисел: 807, 718, 628, 538, 358, 268, 178.

Для ( C = 9 ):

[ A + B = 9 ] Варианты:

• ( A = 9, B = 0 ).
  Число: 908. Подходит, цифры различны.
• ( A = 8, B = 1 ).
  Число: 819. Подходит, цифры различны.
• ( A = 7, B = 2 ).
  Число: 729. Подходит, цифры различны.
• ( A = 6, B = 3 ).
  Число: 639. Подходит, цифры различны.
• ( A = 5, B = 4 ).
  Число: 549. Подходит, цифры различны.
• ( A = 4, B = 5 ).
  Число: 459. Подходит, цифры различны.
• ( A = 3, B = 6 ).
  Число: 369. Подходит, цифры различны.
• ( A = 2, B = 7 ).
  Число: 279. Подходит, цифры различны.
• ( A = 1, B = 8 ).
  Число: 189. Подходит, цифры различны.

Итак, ( C = 9 ) возможно. Примеры чисел: 908, 819, 729, 639, 549, 459, 369, 279, 189.

Ответ:

Число может оканчиваться на любую цифру от 2 до 9 (включительно), то есть:
[ C \in {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. ]

Давайте обозначим трехзначное число как ( xyz ), где ( x ) — первая цифра, ( y ) — вторая цифра, и ( z ) — последняя цифра. По условию задачи у нас есть следующее соотношение:

[ z = x + y ]

При этом важно помнить, что ( x ), ( y ) и ( z ) должны быть различными цифрами, а также ( x ) не может быть равным 0, так как это трехзначное число.

Цифры могут принимать значения в диапазоне от 0 до 9. Однако, поскольку ( x ) — это первая цифра, она должна находиться в диапазоне от 1 до 9. Теперь давайте рассмотрим, какие ограничения накладываются на цифру ( z ).

1. Максимальное значение для ( z ): Поскольку ( z ) — это последняя цифра, она может принимать значения только от 0 до 9. Но также следует учитывать, что ( z = x + y ). Таким образом, максимальное значение ( z ) не может превышать 9:

[ x + y \leq 9 ]

1. Минимальное значение для ( z ): Поскольку ( x ) и ( y ) — это цифры, их минимальное значение 0. Однако, поскольку ( x ) не может быть 0, то минимальное значение для ( x ) — это 1. Следовательно, ( z ) также может принимать значение от 1 и выше.

Теперь давайте посчитаем возможные комбинации значений ( x ) и ( y ):

• Для ( x = 1 ): ( y ) может быть от 0 до 8, и ( z = 1 + y ) может принимать значения от 1 до 9.
• Для ( x = 2 ): ( y ) может быть от 0 до 7, и ( z = 2 + y ) также будет в диапазоне от 2 до 9.
• Для ( x = 3 ): ( y ) может быть от 0 до 6, и ( z = 3 + y ) будет принимать значения от 3 до 9.
• Для ( x = 4 ): ( y ) может быть от 0 до 5, и ( z = 4 + y ) будет принимать значения от 4 до 9.
• Для ( x = 5 ): ( y ) может быть от 0 до 4, и ( z = 5 + y ) будет принимать значения от 5 до 9.
• Для ( x = 6 ): ( y ) может быть от 0 до 3, и ( z = 6 + y ) будет принимать значения от 6 до 9.
• Для ( x = 7 ): ( y ) может быть от 0 до 2, и ( z = 7 + y ) будет принимать значения от 7 до 9.
• Для ( x = 8 ): ( y ) может быть от 0 до 1, и ( z = 8 + y ) будет принимать значения 8 и 9.
• Для ( x = 9 ): ( y ) может быть только 0, и ( z = 9 + 0 = 9).

Теперь, если подытожить, то возможные значения для ( z ) (с учетом, что цифры различны) будут:

• Если ( x = 1 ): ( z = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ) (все возможные значения ( y ))
• Если ( x = 2 ): ( z = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 )
• Если ( x = 3 ): ( z = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 )
• Если ( x = 4 ): ( z = 4, 5, 6, 7, 8, 9 )
• Если ( x = 5 ): ( z = 5, 6, 7, 8, 9 )
• Если ( x = 6 ): ( z = 6, 7, 8, 9 )
• Если ( x = 7 ): ( z = 7, 8, 9 )
• Если ( x = 8 ): ( z = 8, 9 )
• Если ( x = 9 ): ( z = 9 )

Теперь, если мы исключим повторяющиеся значения и учитывая, что все цифры должны быть различны:

• Варианты для ( z ): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Таким образом, все возможные конечные цифры ( z ), которые могут быть равны сумме первых двух цифр ( x ) и ( y ) при условии, что все цифры различны, это все цифры от 1 до 9.