В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов.Cos B равен 7/9,сторона AB= 54.Найдите BC. Пожалуйста!
В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов.Cos B равен 7/9,сторона AB= 54.Найдите BC. Пожалуйста!
Для нахождения стороны BC воспользуемся теоремой Пифагора. По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике гипотенуза в квадрате равна сумме квадратов катетов: AB^2 = AC^2 + BC^2 54^2 = AC^2 + BC^2 2916 = AC^2 + BC^2
Также, так как угол C прямой, то синус угла B равен косинусу угла A, а косинус угла B равен синусу угла A: cosB = sinA sinB = cosA
cosB = 7/9 sinB = sqrt(1 - cos^2B) = sqrt(1 - (7/9)^2) = sqrt(1 - 49/81) = sqrt(32/81) = 4/9
Теперь мы можем найти соотношение сторон: AC/BC = sinB/cosB AC/BC = (4/9)/(7/9) = 4/7
Теперь можем записать уравнение: AC = 4x, BC = 7x 2916 = (4x)^2 + (7x)^2 2916 = 16x^2 + 49x^2 2916 = 65x^2 x^2 = 2916/65 x = sqrt(44.78) x ≈ 6.69
Ответ: BC ≈ 46.83.
Давайте рассмотрим треугольник ABC, в котором угол C равен 90 градусов. Это значит, что треугольник ABC является прямоугольным треугольником. В таком треугольнике гипотенуза всегда лежит напротив прямого угла, а катеты — это стороны, примыкающие к прямому углу.
В данном случае:
Для начала, вспомним определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике. Косинус угла равен отношению длины прилежащего катета к длине гипотенузы. В нашем случае: ( \cos(B) = \frac{AC}{AB} ).
Подставим известные значения: ( \frac{7}{9} = \frac{AC}{54} ).
Теперь выразим AC: ( AC = 54 \times \frac{7}{9} ).
Решим это уравнение: ( AC = 54 \times \frac{7}{9} = 54 \times 0.7777 = 42 ).
Таким образом, длина катета AC равна 42.
Теперь нам нужно найти длину второго катета, BC. Мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника: ( AB^2 = AC^2 + BC^2 ).
Подставим известные значения: ( 54^2 = 42^2 + BC^2 ).
Вычислим квадраты: ( 2916 = 1764 + BC^2 ).
Теперь выразим ( BC^2 ): ( BC^2 = 2916 - 1764 ). ( BC^2 = 1152 ).
И найдем BC, взяв квадратный корень из 1152: ( BC = \sqrt{1152} ).
Разложим 1152 на множители, чтобы упростить вычисление корня: ( 1152 = 2^7 \times 3^2 ).
Тогда: ( \sqrt{1152} = \sqrt{2^7 \times 3^2} = 2^{3.5} \times 3 = 8 \times \sqrt{2} \times 3 = 24 \sqrt{2} ).
Таким образом, длина катета BC равна ( 24 \sqrt{2} ).
Итак, длина стороны BC в треугольнике ABC равна ( 24 \sqrt{2} ).
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов.
Итак, у нас есть треугольник ABC, где угол C равен 90 градусов. Мы знаем, что cos(B) = 7/9 и сторона AB = 54.
Обозначим сторону BC как x. Тогда по теореме косинусов:
cos(B) = (AC^2 + BC^2 - AB^2) / (2 AC BC)
Подставляем известные значения:
7/9 = (AC^2 + x^2 - 54^2) / (2 AC x)
Так как угол C прямой, то AC = sqrt(AB^2 + BC^2) = sqrt(54^2 + x^2) = sqrt(2916 + x^2)
Подставляем это значение в уравнение:
7/9 = (2916 + x^2 + x^2 - 2916) / (2 sqrt(2916 + x^2) x)
7/9 = 2x^2 / (2 sqrt(2916 + x^2) x)
Упрощаем:
7/9 = x / sqrt(2916 + x^2)
Переносим x на другую сторону:
7 * sqrt(2916 + x^2) = 9x
Решаем это уравнение относительно x. Полученное значение x будет являться длиной стороны BC.
