В треугольнике ABC угол C равен 90. AB = 20, tgA = 3/4. Найдите BC. Объясните, пожалуйста, ход решения!...

Конечно, давайте разберем решение задачи шаг за шагом.

1. Понимание задачи: Дано, что в треугольнике ( ABC ) угол ( C ) равен ( 90^\circ ). Это означает, что треугольник ( ABC ) является прямоугольным с гипотенузой ( AB ). Длина гипотенузы ( AB ) равна 20, а тангенс угла ( A ) равен ( \frac{3}{4} ).

2. Использование тангенса: Тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Для угла ( A ): [ \tan(A) = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4} ]

3. Обозначение сторон: Пусть ( BC = x ) и ( AC = y ). Тогда, согласно тангенсу: [ \frac{x}{y} = \frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{4}y ]

4. Использование теоремы Пифагора: В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: [ x^2 + y^2 = 20^2 ] Подставим ( x = \frac{3}{4}y ) в это уравнение: [ \left(\frac{3}{4}y\right)^2 + y^2 = 20^2 ] [ \frac{9}{16}y^2 + y^2 = 400 ] Приведем к общему знаменателю: [ \frac{9}{16}y^2 + \frac{16}{16}y^2 = 400 ] [ \frac{25}{16}y^2 = 400 ] Решим уравнение для ( y^2 ): [ y^2 = 400 \cdot \frac{16}{25} ] [ y^2 = 256 ] [ y = \sqrt{256} = 16 ]

5. Нахождение ( BC ): Теперь мы знаем, что ( y = 16 ), и используем это, чтобы найти ( x ): [ x = \frac{3}{4}y = \frac{3}{4} \cdot 16 = 12 ]

Таким образом, длина ( BC ) равна ( 12 ).

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника.

Итак, у нас имеется треугольник ABC, в котором угол C прямой, то есть 90 градусов. Мы знаем, что AB = 20 и tgA = 3/4. Так как tgA = противолежащий катет / прилежащий катет, то мы можем найти отношение сторон треугольника ABC.

Пусть прилежащий катет равен x, а противолежащий катет равен 3x. Тогда, с помощью теоремы Пифагора, получаем:

x^2 + (3x)^2 = 20^2 x^2 + 9x^2 = 400 10x^2 = 400 x^2 = 40 x = 2√10

Таким образом, BC = 3x = 3 * 2√10 = 6√10.

Итак, длина стороны BC равна 6√10.