В темной комнате лежат вперемешку 5 пар черных ботинок и 5 пар коричневых ботинок одинакового фасона...

Для решения этой задачи нужно учесть, что в темной комнате невозможно различить ботинки ни по цвету, ни по тому, для какой ноги они предназначены — правой или левой. Однако нам нужно найти минимальное количество ботинок, которое необходимо взять, чтобы гарантированно среди них оказалась хотя бы одна пара одного цвета.

Рассмотрим худший сценарий, чтобы понять, сколько ботинок нам нужно взять, чтобы достичь цели:

1. В комнате 5 пар черных ботинок и 5 пар коричневых ботинок. Каждая пара состоит из одного ботинка для левой ноги и одного ботинка для правой ноги, то есть всего у нас 10 черных ботинок (5 правых и 5 левых) и 10 коричневых ботинок (также 5 правых и 5 левых).

2. Чтобы гарантированно получить хотя бы одну пару одного цвета, рассмотрим самый неблагоприятный случай: вы начинаете вытаскивать ботинки, и вам попадаются все ботинки одной ноги (например, только правые) и всех возможных цветов.

3. В худшем случае, вы можете вытащить 5 правых черных ботинок и 5 правых коричневых ботинок — это 10 ботинок всего, и при этом у вас не будет ни одной полной пары.

4. Чтобы гарантированно иметь хотя бы одну пару одного цвета, вам нужно взять еще один ботинок, который будет левой ногой любого из уже взятых правых ботинок. Это составит полную пару.

Таким образом, минимальное количество ботинок, которое необходимо взять, чтобы гарантированно получить одну пару одного цвета, равно 11.

Для того чтобы гарантированно получить пару ботинок одного цвета, необходимо взять минимум 11 ботинок наугад. В худшем случае мы можем выбрать по одному ботинку из каждой пары разного цвета (5 черных и 5 коричневых), и еще один ботинок из любой пары, что обеспечит наличие пары одинакового цвета.

Наименьшее количество ботинок, которое надо взять наугад, чтобы среди них была хоть одна пара одинакового цвета, - это 6 ботинок.