В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а ее боковые грани наклонены к плоскости...

Для решения задачи найдем объем правильной треугольной пирамиды, используя заданные параметры.

1. Нахождение высоты боковой грани (апофемы):

   Правильная треугольная пирамида имеет в основании правильный треугольник со стороной 6. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов. Это значит, что апофема (высота боковой грани) и высота пирамиды образуют прямоугольный треугольник с углом 45 градусов между апофемой и высотой пирамиды.

2. Нахождение радиуса вписанной окружности:

   Для правильного треугольника со стороной ( a = 6 ), радиус вписанной окружности ( r ) может быть найден по формуле: [ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} = \frac{6 \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} ]

3. Нахождение высоты пирамиды:

   В прямоугольном треугольнике, где апофема является гипотенузой, а высота пирамиды и радиус вписанной окружности — катетами, угол между апофемой и высотой равен 45 градусов. Значит: [ \tan(45^\circ) = 1 = \frac{h}{\sqrt{3}} ] Отсюда высота пирамиды ( h ) равна: [ h = \sqrt{3} ]

4. Нахождение апофемы:

   Поскольку угол между апофемой и высотой составляет 45 градусов, апофема ( l ) равна: [ l = h \cdot \sqrt{2} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6} ]

5. Нахождение площади основания:

   Площадь основания (правильного треугольника) с стороной 6 равна: [ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3} ]

6. Вычисление объема пирамиды:

   Объем пирамиды ( V ) определяется формулой: [ V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h ] Подставляем найденные значения: [ V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 3 = 9 ]

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды равен 9 кубическим единицам.

Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды используем формулу V = (1/3) S h, где S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Так как основание пирамиды - правильный треугольник, то его площадь можно найти по формуле S = (a^2 √3) / 4, где а - длина стороны основания. Подставляем данные: a = 6, S = (6^2 √3) / 4 = 9√3.

Также нам известно, что боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов. Таким образом, высота пирамиды h равна половине длины боковой грани, то есть h = a/2 = 6/2 = 3.

Подставляем найденные значения в формулу объема пирамиды: V = (1/3) 9√3 3 = 9√3.

Ответ: объем пирамиды равен 9√3.

Объем правильной треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Так как у нас равносторонний треугольник, площадь основания равна (6^2 √3) / 4 = 9√3. Высота пирамиды равна 6 sin(45°) = 6 √2 / 2 = 3√2. Таким образом, объем пирамиды равен (1/3) 9√3 * 3√2 = 9√6.