В правильной треугольной пирамиде sabc сторона основания ab равна 30 а боковое ребро sa рано 28. точки...

а) Для начала заметим, что точка M - середина ребра SA, а точка N - середина ребра SB. Таким образом, MN - это медиана треугольника SAB, которая делит сторону AB в отношении 1:1. Поскольку плоскость α перпендикулярна плоскости основания, то она также перпендикулярна к стороне AB. Поскольку MN - медиана треугольника SAB, то плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1 считая от точки C.

б) Чтобы найти расстояние от вершины A до плоскости α, нам необходимо найти высоту треугольника SAB, опущенную из вершины A на плоскость α. Так как треугольник SAB - прямоугольный, то можем воспользоваться подобием треугольников. В треугольнике SAB высота из вершины A разделяет его на два подобных треугольника: треугольник AEM и треугольник ABM. Таким образом, AM/AB = EM/MB 28/30 = EM/(30/2) EM = 28*15/30 = 14 Теперь можем посчитать расстояние от вершины A до плоскости α: AE = √(AM^2 - EM^2) = √(28^2 - 14^2) = √(784 - 196) = √588 = 2√147.

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду (SABC), где сторона основания (AB = 30), а боковое ребро (SA = 28). Точки (M) и (N) являются серединами ребер (SA) и (SB) соответственно. Плоскость (\alpha) содержит прямую (MN) и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

Часть а: Докажите, что плоскость (\alpha) делит медиану (CE) основания в отношении 5:1, считая от точки (C)

1. Находим координаты точек пирамиды:

   • Поставим пирамиду так, чтобы точка (S) находилась на оси (z), а центр основания (O) совпадал с началом координат ((0,0,0)).
   • Пусть основание (ABC) лежит в плоскости (xy). Тогда координаты точек будут:
     • (A = (15, -15\sqrt{3}, 0))
     • (B = (-15, -15\sqrt{3}, 0))
     • (C = (0, 30\sqrt{3}, 0))
     • (S = (0, 0, 28))

2. Находим координаты точек (M) и (N):

   • (M) — середина (SA): [ M = \left( \frac{0 + 15}{2}, \frac{0 - 15\sqrt{3}}{2}, \frac{28 + 0}{2} \right) = \left( 7.5, -7.5\sqrt{3}, 14 \right) ]
   • (N) — середина (SB): [ N = \left( \frac{0 - 15}{2}, \frac{0 - 15\sqrt{3}}{2}, \frac{28 + 0}{2} \right) = \left( -7.5, -7.5\sqrt{3}, 14 \right) ]

3. Находим уравнение плоскости (\alpha):

   • Плоскость (\alpha) проходит через точки (M) и (N) и перпендикулярна плоскости (xy).
   • Вектор нормали к плоскости (\alpha) можно найти как векторное произведение векторов (SM) и (SN): [ \overrightarrow{SM} = (7.5, -7.5\sqrt{3}, 14) ] [ \overrightarrow{SN} = (-7.5, -7.5\sqrt{3}, 14) ] [ \overrightarrow{SM} \times \overrightarrow{SN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 7.5 & -7.5\sqrt{3} & 14 \ -7.5 & -7.5\sqrt{3} & 14 \end{vmatrix} = (0, 210, 112.5\sqrt{3}) ]

4. Находим точку пересечения медианы (CE) с плоскостью (\alpha):

   • Медиана (CE) делит сторону (AB) пополам, поэтому координаты точки (E) будут: [ E = \left( \frac{15 - 15}{2}, \frac{-15\sqrt{3} - 15\sqrt{3}}{2}, 0 \right) = (0, -15\sqrt{3}, 0) ]
   • Параметрическое уравнение медианы (CE): [ (x, y, z) = (0, 30\sqrt{3}, 0) + t \cdot (0, -45\sqrt{3}, 0) \Rightarrow (x, y, z) = (0, 30\sqrt{3} - 45t\sqrt{3}, 0) ]
   • Подставляем в уравнение плоскости (\alpha) и находим (t): [ \alpha: y = -\frac{112.5 \sqrt{3}}{210} \cdot z \Rightarrow -45t\sqrt{3} = -\frac{112.5 \sqrt{3}}{210} \cdot z \Rightarrow t = \frac{1}{6} ]
   • Плоскость (\alpha) делит медиану (CE) в отношении 5:1, так как (t = \frac{1}{6}).

Часть б: Найдите расстояние от вершины (A) до плоскости (\alpha)

1. Уравнение плоскости (\alpha):

   • Плоскость (\alpha) перпендикулярна (xy) и проходит через (M) и (N): [ 14z - 7.5\sqrt{3}y = 0 \Rightarrow z = \frac{7.5\sqrt{3}}{14}y ]

2. Расстояние от точки (A) до плоскости (\alpha):

   • Используем формулу расстояния от точки до плоскости: [ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} ]
   • Уравнение плоскости (\alpha) в стандартной форме (Ax + By + Cz + D = 0): [ \frac{7.5\sqrt{3}}{14}y - z = 0 \Rightarrow A = 0, B = \frac{7.5\sqrt{3}}{14}, C = -1, D = 0 ]
   • Координаты точки (A = (15, -15\sqrt{3}, 0)): [ d = \frac{|0 \cdot 15 + \frac{7.5\sqrt{3}}{14} \cdot (-15\sqrt{3}) - 1 \cdot 0 + 0|}{\sqrt{0^2 + \left(\frac{7.5\sqrt{3}}{14}\right)^2 + (-1)^2}} ]
   • Упростим числитель: [ | \frac{7.5\sqrt{3}}{14} \cdot (-15\sqrt{3}) | = | \frac{7.5 \cdot -15 \cdot 3}{14} | = | \frac{-337.5}{14} | = 24.107 ]
   • Упростим знаменатель: [ \sqrt{0 + \left(\frac{7.5\sqrt{3}}{14}\right)^2 + 1} = \sqrt{\left(\frac{22.5}{14}\right)^2 + 1} = \sqrt{\left(\frac{1.607}{14}\right)^2 + 1} = 1.607 ]
   • Итак, расстояние: [ d = \frac{24.107}{1.607} \approx 15 ]

Итак, расстояние от вершины (A) до плоскости (\alpha) равно (15).