В правильной шестиугольной призме большая диагональ равна 2 корня из 6 см и наклонена к основанию пол...

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы, нам нужно определить размеры её элементов — боковых граней и оснований.

1. Определение элементов призмы:

   • Правильная шестиугольная призма имеет шестиугольные основания и прямоугольные боковые грани.
   • В правильном шестиугольнике все стороны равны, и он может быть разделен на 6 равносторонних треугольников.

2. Диагональ призмы:

   • Большая диагональ правильной шестиугольной призмы проходит через центр призмы и соединяет две вершины, расположенные на противоположных гранях основания.
   • Длина этой диагонали дана: (2\sqrt{6}) см.
   • Она наклонена к основанию под углом 45 градусов.

3. Проекция диагонали на основание:

   • Проекция диагонали на основание будет равна (2\sqrt{6} \cdot \cos(45^\circ) = 2\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}) см.

4. Длина стороны основания:

   • В правильном шестиугольнике длина большой диагонали равна удвоенной длине стороны. Но здесь мы имеем диагональ призмы, которая наклонена.
   • Следовательно, длина стороны основания будет равна (2\sqrt{3}) см.

5. Высота призмы:

   • Высота призмы (h) связана с диагональю и её наклоном: [ 2\sqrt{6} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + h^2} ] [ 2\sqrt{6} = \sqrt{12 + h^2} ] [ 24 = 12 + h^2 ] [ h^2 = 12 ] [ h = 2\sqrt{3} \text{ см} ]

6. Площадь основания:

   • Площадь правильного шестиугольника с длиной стороны (a) равна: [ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^2 ] [ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (2\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 18\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

7. Площадь боковой поверхности:

   • Площадь одной боковой грани (прямоугольник) равна (a \cdot h = 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 12 \text{ см}^2).
   • Всего боковых граней 6, следовательно, площадь боковой поверхности: [ S_{\text{бок}} = 6 \cdot 12 = 72 \text{ см}^2 ]

8. Полная площадь поверхности:

   • Полная площадь поверхности призмы включает площадь двух оснований и боковой поверхности: [ S{\text{полн}} = 2 \cdot S{\text{осн}} + S{\text{бок}} ] [ S{\text{полн}} = 2 \cdot 18\sqrt{3} + 72 = 36\sqrt{3} + 72 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы равна (36\sqrt{3} + 72) квадратных сантиметра.

Для начала найдем высоту призмы. Разделим большую диагональ на две равные части (по высоте призмы) с помощью высоты H и половины диагонали D/2. Получим прямоугольный треугольник, в котором известны гипотенуза D/2 = √6 см и угол между гипотенузой и основанием призмы - 45 градусов. Таким образом, с помощью тригонометрии, находим высоту H = D/2 sin(45°) = (√6)/2 √2/2 = 3/2 см.

Теперь найдем боковую площадь призмы. Поскольку у нас правильная призма, то у неё равные правильные треугольные грани. Площадь одной из этих граней равна (1/2) сторона высота треугольника. Поскольку у нас правильный шестиугольник, то площадь одной грани равна (3√3)/2 (3/2) = (9√3)/4 см^2. У нас шесть таких граней, поэтому боковая площадь призмы равна 6 (9√3)/4 = (27√3)/2 см^2.

Наконец, найдем площадь основания призмы. У нас правильный шестиугольник, поэтому его площадь равна (3√3)/2 * 3/2 = (9√3)/4 см^2.

Таким образом, полная поверхность призмы равна сумме боковой площади и площади основания: (27√3)/2 + (9√3)/4 = (54√3 + 9√3)/4 = (63√3)/4 см^2.

Итак, площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы равна (63√3)/4 квадратных сантиметров.