В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С, угол А=30 º, кате АС=5√3. Найдите катет, гипотенузу...

Для решения данной задачи воспользуемся тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

1. Найдем катет ВС: Так как угол А = 30º, то угол B = 90º - 30º = 60º. Зная, что синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, можем записать: sin(30º) = AC / BC 1/2 = 5√3 / BC BC = 10√3.

2. Найдем гипотенузу AB: С помощью теоремы Пифагора найдем гипотенузу: AB² = AC² + BC² AB² = (5√3)² + (10√3)² AB² = 75 + 300 AB² = 375 AB = √375 = 5√15.

3. Найдем площадь треугольника ABC: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Таким образом, S = (AC BC) / 2 S = (5√3 10√3) / 2 S = 50√3 / 2 S = 25√3.

Итак, катет ВС равен 10√3, гипотенуза AB равна 5√15, а площадь треугольника ABC равна 25√3.

В прямоугольном треугольнике ( \triangle ABC ) с прямым углом ( C ), у нас есть угол ( A = 30^\circ ) и катет ( AC = 5\sqrt{3} ). Нам нужно найти второй катет ( BC ), гипотенузу ( AB ), и площадь треугольника.

Найдем гипотенузу ( AB )

В прямоугольном треугольнике, где один из углов равен ( 30^\circ ), гипотенуза в два раза больше катета, лежащего напротив этого угла. В данном случае, напротив угла ( A = 30^\circ ) лежит катет ( BC ), значит:

[ AB = 2 \times AC = 2 \times 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} ]

Найдем катет ( BC )

Используем тригонометрическую функцию синуса для угла ( A ):

[ \sin(30^\circ) = \frac{BC}{AB} ]

Мы знаем, что ( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ), и ( AB = 10\sqrt{3} ):

[ \frac{1}{2} = \frac{BC}{10\sqrt{3}} ]

Отсюда:

[ BC = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} ]

Проверка

Также можем проверить катет ( BC ) через тангенс:

[ \tan(30^\circ) = \frac{AC}{BC} = \frac{5\sqrt{3}}{BC} ]

Мы знаем, что ( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} ):

[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{BC} ]

Отсюда:

[ BC = 5 ]

Таким образом, катет ( BC = 5 ).

Найдем площадь треугольника

Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения его катетов:

[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 5\sqrt{3} \times 5 = \frac{25\sqrt{3}}{2} ]

Итак, в треугольнике:

• Катет ( BC = 5 )
• Гипотенуза ( AB = 10\sqrt{3} )
• Площадь треугольника ( = \frac{25\sqrt{3}}{2} )