В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 7. Найдите ее объем.
В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 7. Найдите ее объем.
Для решения задачи на нахождение объема правильной четырехугольной пирамиды сначала найдем площадь основания, которая является квадратом, а затем используем формулу объема пирамиды.
Найдем сторону квадрата основания: Поскольку даны высота пирамиды (h = 2) и боковое ребро (L = 7), можно найти апофему пирамиды (высоту боковой грани), опустив перпендикуляр из вершины пирамиды на середину одной из сторон основания. Этот перпендикуляр разделит боковую грань на два равных прямоугольных треугольника, где гипотенузой является боковое ребро (L = 7), одним из катетов – высота пирамиды (h = 2), а другим катетом – половина диагонали квадрата основания.
Пусть сторона квадрата основания равна a. Тогда диагональ квадрата равна (d = a\sqrt{2}). Половина диагонали равна (\frac{a\sqrt{2}}{2}).
Так как треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали квадрата и боковым ребром, является прямоугольным, мы можем использовать теорему Пифагора: [ 7^2 = 2^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 ] [ 49 = 4 + \frac{a^2}{2} ] [ 45 = \frac{a^2}{2} ] [ a^2 = 90 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} ]
Площадь основания (S) квадрата со стороной (a = 3\sqrt{10}) равна: [ S = (3\sqrt{10})^2 = 90 ]
Объем пирамиды (V) вычисляется по формуле: [ V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3} \cdot 90 \cdot 2 = 60 ]
Таким образом, объем данной пирамиды равен 60 кубических единиц.
Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды можно воспользоваться формулой:
V = (1/3) S h,
где V - объем пирамиды, S - площадь основания, h - высота.
Поскольку у нас прямоугольная пирамида, то площадь основания равна площади прямоугольника, образованного диагоналями основания, которая рассчитывается по формуле:
S = a * b,
где a и b - стороны прямоугольника (равны сторонам четырехугольника).
Для нахождения объема пирамиды в данной задаче:
S = 7 * 7 = 49,
V = (1/3) 49 2 = 32.67.
Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен 32.67.
