В поход пошли 20 человек: мужчины, женщины и дети. Каждый мужчина нес груз 20 кг, каждая женщина-5 кг,...

Давайте разберём задачу и подробно её решим.

Условие

В поход пошли 20 человек, состоящих из мужчин, женщин и детей. Каждый мужчина несёт 20 кг груза, каждая женщина — 5 кг, а каждый ребёнок — 3 кг. Общая масса груза составила 149 кг. Нужно найти, сколько мужчин, женщин и детей было в группе.

Пусть:

• ( x ) — количество мужчин,
• ( y ) — количество женщин,
• ( z ) — количество детей.

Тогда у нас есть две системы уравнений, исходя из условий задачи:

1. Общее количество людей:
   [ x + y + z = 20 ]

2. Общая масса груза:
   [ 20x + 5y + 3z = 149 ]

Решение системы уравнений

Из первого уравнения выражаем ( z ): [ z = 20 - x - y ]

Подставим ( z ) во второе уравнение: [ 20x + 5y + 3(20 - x - y) = 149 ]

Раскроем скобки: [ 20x + 5y + 60 - 3x - 3y = 149 ]

Приведём подобные слагаемые: [ (20x - 3x) + (5y - 3y) + 60 = 149 ] [ 17x + 2y + 60 = 149 ]

Упростим: [ 17x + 2y = 89 ]

Теперь у нас есть новая система уравнений:

1. ( x + y + z = 20 )
2. ( 17x + 2y = 89 )

Решим эту систему:

Из первого уравнения выразим ( z ): [ z = 20 - x - y ]

Из второго уравнения выразим ( y ): [ 2y = 89 - 17x ] [ y = \frac{89 - 17x}{2} ]

Подставим ( y ) и ( z ) в условия задачи, чтобы найти целые значения.

Подбор решений

Так как ( x ), ( y ), ( z ) — это целые числа, ( x ) должно быть таким, чтобы ( y = \frac{89 - 17x}{2} ) также было целым числом. Рассмотрим возможные значения ( x ):

( x = 5 ):

[ y = \frac{89 - 17 \cdot 5}{2} ] [ y = \frac{89 - 85}{2} = \frac{4}{2} = 2 ]

Тогда: [ z = 20 - x - y = 20 - 5 - 2 = 13 ]

Проверим:

• Общее количество людей: ( x + y + z = 5 + 2 + 13 = 20 ) — условие выполняется.
• Общая масса груза:
  [ 20x + 5y + 3z = 20 \cdot 5 + 5 \cdot 2 + 3 \cdot 13 = 100 + 10 + 39 = 149 ] — условие выполняется.

Ответ:

• Мужчин: ( 5 ),
• Женщин: ( 2 ),
• Детей: ( 13 ).

Для решения задачи давайте обозначим количество мужчин, женщин и детей как (m), (w) и (c) соответственно. У нас есть три переменные и два уравнения, которые мы можем составить на основе условия задачи.

1. Общее количество людей: [ m + w + c = 20 ]

2. Общее количество груза: [ 20m + 5w + 3c = 149 ]

Теперь у нас есть система из двух уравнений с тремя переменными. Мы можем решить эту систему, выразив одну из переменных через другие.

Из первого уравнения можно выразить (c): [ c = 20 - m - w ]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение: [ 20m + 5w + 3(20 - m - w) = 149 ]

Раскроем скобки и упростим: [ 20m + 5w + 60 - 3m - 3w = 149 ] [ (20m - 3m) + (5w - 3w) + 60 = 149 ] [ 17m + 2w + 60 = 149 ]

Теперь вычтем 60 из обеих сторон: [ 17m + 2w = 89 ]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. (m + w + c = 20)
2. (17m + 2w = 89)

Теперь мы можем выразить (w) через (m) из второго уравнения: [ 2w = 89 - 17m \implies w = \frac{89 - 17m}{2} ]

Подставим это значение (w) в первое уравнение: [ m + \frac{89 - 17m}{2} + c = 20 ]

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей: [ 2m + 89 - 17m + 2c = 40 ] [ -15m + 2c + 89 = 40 ] [ 2c = 15m + 40 - 89 ] [ 2c = 15m - 49 ] [ c = \frac{15m - 49}{2} ]

Теперь, чтобы найти допустимые целые значения (m), (w) и (c), нам нужно, чтобы (c) было неотрицательным, и обе переменные (w) и (c) были целыми числами. Это значит, что (15m - 49) должно быть четным, а также должно удовлетворять условию (15m - 49 \geq 0).

Решим неравенство: [ 15m \geq 49 \implies m \geq \frac{49}{15} \approx 3.27 ] Таким образом, (m \geq 4).

Теперь проверим допустимые значения (m) от 4 до 20 и найдем соответствующее значение (w) и (c).

1. (m = 4):

   • (w = \frac{89 - 17 \times 4}{2} = \frac{89 - 68}{2} = \frac{21}{2}) (не целое)

2. (m = 5):

   • (w = \frac{89 - 17 \times 5}{2} = \frac{89 - 85}{2} = \frac{4}{2} = 2)
   • (c = 20 - 5 - 2 = 13)
   • Проверка: (20 \times 5 + 5 \times 2 + 3 \times 13 = 100 + 10 + 39 = 149) (все верно)

3. (m = 6):

   • (w = \frac{89 - 17 \times 6}{2} = \frac{89 - 102}{2} = \frac{-13}{2}) (не подходит, отрицательное)

4. (m = 7):

   • (w = \frac{89 - 17 \times 7}{2} = \frac{89 - 119}{2} = \frac{-30}{2}) (не подходит, отрицательное)

И так далее мы можем просмотреть более высокие значения (m).

Таким образом, находим, что единственным решением, удовлетворяющим всем условиям, будет:

• Количество мужчин (m = 5)
• Количество женщин (w = 2)
• Количество детей (c = 13)

Ответ: В группе 5 мужчин, 2 женщины и 13 детей.