В параллелограмме ABCD по стороне BC отмечена точка K так, что BK:KC=1:2. Разложите по векторам AC=a...

Для решения задачи воспользуемся свойствами параллелограмма и базовыми операциями с векторами.

Вектор BA

В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны и параллельны. Это означает, что ( AB \parallel DC ) и ( AD \parallel BC ). Кроме того, ( AB = DC ) и ( AD = BC ).

Рассмотрим векторы ( \vec{AC} ) и ( \vec{DB} ):

• ( \vec{AC} = \vec{a} )
• ( \vec{DB} = \vec{b} )

Так как ( \vec{DB} ) по определению направлен от D к B, то ( \vec{BD} = -\vec{b} ).

Теперь разложим вектор ( \vec{BA} ) через векторы ( \vec{AC} ) и ( \vec{DB} ). Вектор ( \vec{BA} ) можно представить как сумму векторов ( \vec{BC} ) и ( \vec{CA} ): [ \vec{BA} = \vec{BC} + \vec{CA} ]

Вектор ( \vec{CA} ) по определению равен ( -\vec{AC} ): [ \vec{CA} = -\vec{a} ]

Так как ( BC ) параллельно и равно ( AD ), то вектор ( \vec{BC} ) равен вектору ( \vec{AD} ): [ \vec{BC} = \vec{AD} ]

Вектор ( \vec{AD} ) можно разложить как разность векторов ( \vec{AC} ) и ( \vec{DC} ): [ \vec{AD} = \vec{AC} - \vec{DC} ]

Мы знаем, что ( \vec{DC} = \vec{AB} ), поэтому: [ \vec{AD} = \vec{AC} - \vec{AB} ]

Но вектор ( \vec{AB} ) равен вектору ( \vec{DB} ) по длине и параллелен ему, т.е.: [ \vec{AB} = \vec{DB} = \vec{b} ]

Следовательно: [ \vec{AD} = \vec{AC} - \vec{b} ]

Теперь подставим это в выражение для ( \vec{BA} ): [ \vec{BA} = \vec{BC} + \vec{CA} = (\vec{AC} - \vec{b}) - \vec{a} = -\vec{b} ]

Таким образом: [ \vec{BA} = -\vec{b} ]

Вектор AK

Точка K делит сторону BC в отношении ( BK:KC = 1:2 ). Используем это отношение для разложения вектора ( \vec{AK} ).

Вектор ( \vec{AK} ) можно представить как сумму векторов ( \vec{AB} ) и ( \vec{BK} ): [ \vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK} ]

Вектор ( \vec{AB} ) равен ( \vec{b} ). Теперь найдем вектор ( \vec{BK} ). Поскольку K делит BC в отношении 1:2, то точка K делит вектор ( \vec{BC} ) в том же отношении.

Вектор ( \vec{BK} ) можно представить как: [ \vec{BK} = \frac{1}{3} \vec{BC} ]

Ранее мы нашли, что ( \vec{BC} = \vec{AC} - \vec{b} ), поэтому: [ \vec{BK} = \frac{1}{3} (\vec{AC} - \vec{b}) ]

Теперь подставляем это в выражение для ( \vec{AK} ): [ \vec{AK} = \vec{b} + \frac{1}{3} (\vec{AC} - \vec{b}) ]

Упрощаем выражение: [ \vec{AK} = \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{AC} - \frac{1}{3} \vec{b} = \frac{3}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{AC} ] [ \vec{AK} = \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{a} ]

Таким образом: [ \vec{AK} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} ]

Итак, мы разложили векторы по заданным векторам ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ):

• ( \vec{BA} = -\vec{b} )
• ( \vec{AK} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} )

Вектор BA = -a + b Вектор AK = -2a + 3b

Для начала определим вектор AC: AC = C - A.

Теперь найдем вектор BA: BA = -AB = -(-AC + CB) = AC - CB.

Теперь найдем вектор AK: AK = AB - KB = AC - CB - 1/3 BC = AC - 1/3 (AC - AK) = 3/2 AC - 1/3 AK.

Таким образом, разложив векторы BA и AK по векторам AC и DB, получим: BA = AC - CB = AC - 2/3 AC = 1/3 AC, AK = 3/2 AC - 1/3 AK = 3/2 AC - 1/3 (3/2 AC) = 3/2 AC - 1/2 AC = AC.