В лифт восьмиэтажного дома на первом этаже вошли пять человек. Любой из них с одинаковой вероятностью...

Рассмотрим задачу поэтапно.

Исходные данные:

• Восьмиэтажный дом.
• Пять человек входят в лифт на первом этаже.
• Каждый человек с одинаковой вероятностью может выйти на любом из этажей, начиная со второго.

Обозначения:

• ( n = 8 ) — общее количество этажей.
• ( k = 5 ) — количество человек.
• Этажи, доступные для выхода: со 2-го по 8-й (всего 7 этажей).

Вероятность выхода на каждом этаже:

Каждый человек может выйти на любом из 7 этажей с одинаковой вероятностью, то есть вероятность выхода на конкретный этаж равна ( \frac{1}{7} ).

Найдем вероятности для каждого случая:

а) Вероятность того, что все пятеро выйдут на третьем этаже:

Для каждого человека вероятность выйти на третьем этаже ( \frac{1}{7} ). Так как события для каждого человека независимы, вероятность того, что все пятеро выйдут на третьем этаже, будет произведением вероятностей для каждого из них: [ P(\text{все на 3-м этаже}) = \left( \frac{1}{7} \right)^5 = \frac{1}{16807}. ]

б) Вероятность того, что все пятеро выйдут на одном этаже:

Для этого необходимо учитывать, что они могут выйти на любом из 7 этажей. Для одного конкретного этажа вероятность того, что все пятеро выйдут на этом этаже, равна ( \left( \frac{1}{7} \right)^5 ). Но таких этажей 7, поэтому общая вероятность будет: [ P(\text{все на одном этаже}) = 7 \times \left( \frac{1}{7} \right)^5 = 7 \times \frac{1}{16807} = \frac{7}{16807}. ]

в) Вероятность того, что все пятеро выйдут на разных этажах:

Для этого случая важно рассчитать количество благоприятных исходов и общее количество исходов.

1. Общее количество исходов: Каждый из 5 человек может выбрать один из 7 этажей, то есть общее количество возможных исходов: [ 7^5. ]

2. Благоприятные исходы: Для того чтобы все вышли на разных этажах, нам нужно выбрать 5 этажей из 7 доступных и расположить их по определенному порядку:

   • Выбираем 5 этажей из 7: ( \binom{7}{5} ).
   • Переставляем 5 человек по выбранным этажам: ( 5! ).

Таким образом, количество благоприятных исходов: [ \binom{7}{5} \times 5! = \frac{7!}{5!(7-5)!} \times 5! = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} \times 5! = 21 \times 120 = 2520. ]

1. Вероятность: [ P(\text{все на разных этажах}) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{2520}{7^5} = \frac{2520}{16807}. ]

Итак, вероятности для каждого случая: а) ( \frac{1}{16807} ). б) ( \frac{7}{16807} ). в) ( \frac{2520}{16807} ).

а) Вероятность того, что все пятеро выйдут на третьем этаже равна (1/7)^5 = 0.0000288.

б) Вероятность того, что все пятеро выйдут на одном этаже равна (1/7)^5 = 0.0000288.

в) Вероятность того, что все пятеро выйдут на разных этажах равна 5/7 4/7 3/7 * 2/7 = 0.02551.

а) Вероятность того, что все пять человек выйдут на третьем этаже, равна произведению вероятностей каждого человека выйти на третьем этаже: (P = \left(\frac{1}{7}\right)^5 = \frac{1}{16807}).

б) Вероятность того, что все пять человек выйдут на одном этаже, равна произведению вероятностей каждого человека выйти на этот этаж (какой-то из 7 возможных): (P = \sum_{i=2}^{8} \left(\frac{1}{7}\right)^5 = 7 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^5 = \frac{1}{2401}).

в) Вероятность того, что все пять человек выйдут на разных этажах, равна числу перестановок 5 человек по 7 этажам, делённое на общее число возможных исходов (каждый человек может выйти на любой из 7 оставшихся этажей): (P = \frac{7!}{(7-5)! \cdot 7^5} = \frac{7!}{2 \cdot 7^5} = \frac{5}{294}).