В данной задаче о ладье на шахматной доске речь идет об игре, в которой двое участников по очереди передвигают ладью на любое число клеток вправо или вверх. Цель игры — переместить ладью из левого нижнего угла (позиция (1, 1)) в правый верхний угол (позиция (8, 8)). Вопрос заключается в том, кто из игроков может гарантировать себе победу, если они оба будут играть оптимально.
Чтобы решить эту задачу, можно использовать принцип теории игр, в частности, концепцию выигрышных и проигрышных позиций. В таких играх позиция называется выигрышной для игрока, если существует хотя бы одно действие, которое приведет противника в проигрышную позицию. Соответственно, позиция является проигрышной, если любой ход приводит противника в выигрышную позицию.
Давайте проанализируем эту игру:
Целевая позиция (8, 8): Это выигрышная позиция, потому что игрок, который поставил ладью в эту клетку, побеждает.
Анализ обратным ходом (backward induction): Мы начинаем с конечной точки (8, 8) и определяем выигрышные и проигрышные позиции на каждом шаге:
- Любая позиция (x, y), где x = 8 или y = 8, но не (8, 8), является выигрышной, потому что игрок может перемещать ладью прямо в (8, 8) на следующем ходу.
- Позиция (7, 7) — проигрышная, потому что любой ход оттуда ведет в выигрышную позицию (или (8, 7) или (7, 8)).
- Позиции, из которых можно сделать ход в (7, 7), будут выигрышными, и так далее.
Начальная позиция (1, 1): Чтобы определить, является ли она выигрышной или проигрышной, мы продолжаем анализировать:
- Следуя логике, из позиции (1, 1) игрок может сделать ход в (2, 1) или (1, 2), что в конечном итоге приведет противника в проигрышную позицию (3, 3), (5, 5), ., (7, 7).
Таким образом, игрок, который начинает игру, находится в выигрышной позиции, потому что он всегда может привести игру к проигрышной позиции для второго игрока, если будет следовать оптимальной стратегии.
Отсюда следует, что первый игрок может гарантировать себе победу, если он будет действовать оптимально.