В конференции участвовали 19 ученых. После конференции каждый из них отправил 2 или 4 письма участникам...

Да, такое возможно. Предположим, что 10 ученых отправили по 2 письма, а 9 ученых отправили по 4 письма. Тогда каждый ученый, получит 2 письма от первых 10 ученых и 1 письмо от оставшихся 9 ученых, в итоге получив ровно 3 письма. Таким образом, такая ситуация возможна.

Нет, такая ситуация невозможна. Давайте разберемся, почему.

Каждый из 19 участников отправил либо 2, либо 4 письма другим участникам. Пусть $a$ будет количество участников, отправивших по 2 письма, а $b$ — количество участников, отправивших по 4 письма. Тогда:

$a+b=19$

Общее количество отправленных писем равно $2a+4b$. Так как каждое письмо отправляется одному из участников конференции и каждый участник получил ровно 3 письма, общее количество полученных писем также должно быть равно $3\times 19=57$. Таким образом:

$2a+4b=57$

Теперь у нас есть система уравнений:

1. $a+b=19$
2. $2a+4b=57$

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения выразим $a$:

$a=19-b$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(19-b)+4b=57$

Раскроем скобки и упростим:

$38-2b+4b=57$ $38+2b=57$ $2b=57-38$ $2b=19$ $b=9.5$

Полученное значение $b=9.5$ — нецелое число, что невозможно, так как количество участников должно быть целым числом. Следовательно, наша система уравнений не имеет целочисленного решения.

Таким образом, невозможно, чтобы каждый из 19 участников отправил 2 или 4 письма и при этом каждый получил ровно 3 письма.