В Деревне долгожителей сын спросил, сколько лет отцу. Отец ответил: "Мне сейчас столько лет,сколько...

Чтобы решить задачу, давайте обозначим переменные:

• Пусть ( x ) — возраст отца сейчас.
• Пусть ( y ) — возраст сына сейчас.
• Сыну сейчас ( y ) лет, а его сыну, который младше его на 20 лет, соответственно ( y - 20 ) лет.

Согласно условию, отец говорит, что его возраст равен возрасту сына в будущем, когда его сын станет вдвое старше отца сейчас и вдвое моложе будущего возраста отца.

1. Найдем возраст сына в будущем:

   • Сын станет вдвое старше отца сейчас, то есть: [ y + t = 2x ] где ( t ) — это количество лет, которое пройдет до этого момента.

2. Найдем возраст отца в будущем:

   • В это же время возраст отца будет: [ x + t ]

3. Сравним с возрастом вдвое моложе отца в будущем:

   • Отец должен быть вдвое старше сына, который будет тогда: [ x + t = 2(y + t - 20) ]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. ( y + t = 2x )
2. ( x + t = 2(y + t - 20) )

Теперь упростим второе уравнение: [ x + t = 2y + 2t - 40 ] [ x + t - 2t = 2y - 40 ] [ x - t = 2y - 40 ] [ t = x - 2y + 40 ]

Теперь подставим это значение ( t ) в первое уравнение: [ y + (x - 2y + 40) = 2x ] [ y + x - 2y + 40 = 2x ] [ -x + 40 = y ] Таким образом, мы получили: [ y = 40 - x ]

Теперь мы знаем, что возраст сына ( y ) выражается через возраст отца ( x ). Поскольку возраст не может быть отрицательным, подставим значение ( y ) в диапазон возможных значений:

1. ( 40 - x \geq 0 ) , то есть ( x \leq 40 ).

Теперь подставим это значение в уравнение, чтобы найти конкретные значения:

Подставляя в уравнение ( t = x - 2(40 - x) + 40 ): [ t = x - 80 + 2x + 40 ] [ t = 3x - 40 ]

Теперь подставим ( t ) обратно в первое уравнение: [ (40 - x) + (3x - 40) = 2x ] [ 40 - x + 3x - 40 = 2x ] [ 2x = 2x ]

Эта система уравнений не дает нам противоречий. Теперь мы можем подставить конкретное значение для ( x ): Пробуем значение от 1 до 40.

• Если ( x = 20 ), то ( y = 20 ), что не подходит.
• Если ( x = 30 ), то ( y = 10 ), что не подходит.
• Если ( x = 35 ), то ( y = 5 ), что не подходит.
• Если ( x = 40 ), то ( y = 0 ), что не подходит.

Таким образом, отцу 30 лет, а сыну 10 лет.

Ответ: отцу 40 лет.

Давайте разберем задачу поэтапно, используя систему уравнений.

Обозначим переменные:

• Возраст сына обозначим как ( x ).
• Возраст отца обозначим как ( y ).
• Возраст внука (сына сына) обозначим как ( z ).

Условие задачи говорит, что внук моложе своего отца на 20 лет: [ z = x - 20. \tag{1} ]

Ключевые условия задачи:

1. Отец утверждает, что его нынешний возраст равен возрасту сына в тот момент, когда его (сына) сын (внук) станет вдвое старше, чем сын сейчас.
2. В тот же момент (из условия), возраст внука будет вдвое меньше возраста отца.

Теперь разберем эти условия подробнее.

Условие 1: Внук станет вдвое старше, чем сын сейчас

Через некоторое время ( t ), возраст внука будет ( z + t ). По условию, это равно удвоенному возрасту сына сейчас: [ z + t = 2x. \tag{2} ]

Из уравнения (2) выразим ( t ): [ t = 2x - z. \tag{3} ]

Условие 2: В тот же момент возраст внука будет вдвое меньше возраста отца

Через то же время ( t ), возраст отца станет ( y + t ), а возраст внука будет ( z + t ). По условию: [ z + t = \frac{1}{2} (y + t). \tag{4} ]

Раскроем скобки и упростим: [ 2(z + t) = y + t, ] [ 2z + 2t = y + t, ] [ 2z + t = y. \tag{5} ]

Условие 3: Нынешний возраст отца равен возрасту сына в момент времени ( t )

Через время ( t ), возраст сына станет ( x + t ). По условию: [ y = x + t. \tag{6} ]

Решение системы уравнений

Теперь у нас есть три ключевых уравнения:

1. ( z = x - 20 ),
2. ( t = 2x - z ),
3. ( y = 2z + t ),
4. ( y = x + t ).

Подставим ( z = x - 20 ) в уравнения (3) и (5):

Из (3): [ t = 2x - (x - 20), ] [ t = x + 20. \tag{7} ]

Из (5): [ y = 2z + t, ] [ y = 2(x - 20) + t, ] [ y = 2x - 40 + t. \tag{8} ]

Подставим ( t = x + 20 ) в уравнение (8):

[ y = 2x - 40 + (x + 20), ] [ y = 2x - 40 + x + 20, ] [ y = 3x - 20. \tag{9} ]

Связь уравнений (6) и (7):

Из (6): [ y = x + t, ] [ y = x + (x + 20), ] [ y = 2x + 20. \tag{10} ]

Приравняем уравнения (9) и (10) для ( y ):

[ 3x - 20 = 2x + 20, ] [ 3x - 2x = 20 + 20, ] [ x = 40. \tag{11} ]

Найдем возраст отца:

Подставим ( x = 40 ) в уравнение (10): [ y = 2x + 20, ] [ y = 2(40) + 20, ] [ y = 80 + 20, ] [ y = 100. \tag{12} ]

Ответ:

Возраст отца — 100 лет.