Точки А, В и С лежат на одной прямой, причем ВС=8 см, АВ-АС=8 см. Какое из следующих утверждений верно?...

Рассмотрим точки A, B и C, которые лежат на одной прямой. Известно, что ( BC = 8 ) см и ( AB - AC = 8 ) см. Нам нужно определить, какое из предложенных утверждений верно.

Для удобства обозначим координаты точек на числовой прямой следующим образом:

• Точка B имеет координату ( x ).
• Точка C находится на расстоянии 8 см от точки B, поэтому её координата будет ( x + 8 ) (если она справа) или ( x - 8 ) (если она слева).

Теперь рассмотрим точку A. Поскольку ( AB - AC = 8 ):

1. Пусть точка C находится справа от точки B, тогда ( C ) имеет координату ( x + 8 ). Рассмотрим координаты точки A:
   • Если ( A ) находится между ( B ) и ( C ), то её координата ( y ) должна удовлетворять ( x \leq y \leq x + 8 ).
   • В таком случае ( AB = |y - x| ) и ( AC = |y - (x + 8)| ).

Теперь подставим эти выражения в условие ( AB - AC = 8 ): [ |y - x| - |y - (x + 8)| = 8. ]

Рассмотрим возможные варианты для ( y ):

Случай 1: ( y = x ) (А совпадает с В)

Тогда: [ AB = |x - x| = 0, ] [ AC = |x - (x + 8)| = 8. ]

Это даёт: [ 0 - 8 = -8. ] Данный случай не подходит, так как -8 ≠ 8.

Случай 2: ( y = x + 8 ) (А совпадает с С)

Тогда: [ AB = |(x + 8) - x| = 8, ] [ AC = |(x + 8) - (x + 8)| = 0. ]

Это даёт: [ 8 - 0 = 8. ] Данный случай подходит, так как 8 = 8.

Таким образом, если точка А совпадает с точкой С, то условие выполняется.

Рассмотрим утверждения:

1. Точка A - середина отрезка BC.

   • Это неверно, так как A совпадает с C.

2. Точка B - середина отрезка AC.

   • Это неверно, так как AC = 0, а B ≠ A.

3. Точка C - середина отрезка AB.

   • Это неверно, так как AB = 8, а C ≠ середина AB.

4. Точки A и B совпадают.

   • Это неверно, так как A совпадает с C.

Из всех рассмотренных утверждений ни одно не является верным. Однако, если все точки A, B и C лежат на одной прямой, то при данных условиях подходящий вариант только один: точки A и C совпадают.

Для решения данной задачи нужно рассмотреть условие, что А, В и С лежат на одной прямой. Также из условия известно, что ВС = 8 см и АВ - АС = 8 см.

Если точки А, В и С лежат на одной прямой, то можно использовать теорему о равенстве отрезков, которая гласит: "Если два отрезка равны одному и тому же отрезку, то они равны между собой".

Исходя из данной теоремы, можно сделать вывод, что если АВ - АС = 8 см, то АВ = АС. Следовательно, точка А является серединой отрезка ВС.

Таким образом, верным утверждением из предложенных является: 1) точка А - середина отрезка ВС.