Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна -105, знаменатель прогрессии равен 4. Найдите...

Чтобы решить задачу, давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как ( a ), а знаменатель прогрессии ( q = 4 ).

Дано, что сумма первых трёх членов прогрессии равна (-105). Формула для суммы первых ( n ) членов геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

[ S_n = a + aq + aq^2 + \ldots + aq^{n-1} ]

В нашем случае, сумма первых трёх членов:

[ S_3 = a + aq + aq^2 = -105 ]

Подставим ( q = 4 ):

[ a + 4a + 16a = -105 ]

Это упрощается до:

[ 21a = -105 ]

Отсюда найдем ( a ):

[ a = \frac{-105}{21} = -5 ]

Теперь у нас есть первый член прогрессии: ( a = -5 ).

Найдем сумму первых пяти членов прогрессии ( S_5 ):

[ S_5 = a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 ]

Подставим значения ( a = -5 ) и ( q = 4 ):

[ S_5 = -5 + (-5) \cdot 4 + (-5) \cdot 16 + (-5) \cdot 64 + (-5) \cdot 256 ]

Вычислим отдельно каждый член:

1. (-5)
2. (-5 \cdot 4 = -20)
3. (-5 \cdot 16 = -80)
4. (-5 \cdot 64 = -320)
5. (-5 \cdot 256 = -1280)

Теперь найдем сумму:

[ S_5 = -5 - 20 - 80 - 320 - 1280 ]

Сложим все значения:

[ S_5 = -5 - 20 - 80 - 320 - 1280 = -1705 ]

Таким образом, сумма первых пяти членов этой геометрической прогрессии равна (-1705).

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулу суммы членов геометрической прогрессии: S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q), где S_n - сумма первых n членов прогрессии, a - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии.

Из условия задачи у нас дано, что сумма первых трёх членов равна -105, а знаменатель прогрессии равен 4. Поэтому у нас есть уравнение: a + aq + aq^2 = -105, q = 4.

Теперь найдем первый член прогрессии a: a (1 - 4^3) / (1 - 4) = -105, a (-63) / -3 = -105, a * 21 = -105, a = -5.

Теперь найдем сумму первых пяти членов прогрессии: S_5 = -5 (1 - 4^5) / (1 - 4), S_5 = -5 (1 - 1024) / -3, S_5 = -5 * (-1023) / -3, S_5 = 3415.

Итак, сумма первых пяти членов данной геометрической прогрессии равна 3415.