Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти...

Для решения задачи используем формулу вероятности.

Обозначим:

• ( K = 45 ) — количество вопросов, которые знает студент,
• ( N = 60 ) — общее количество вопросов,
• ( n = 3 ) — количество вопросов в экзаменационном билете.

а) Вероятность того, что студент знает все три вопроса:

[ P(все\ 3) = \frac{\binom{K}{3}}{\binom{N}{3}} = \frac{\binom{45}{3}}{\binom{60}{3}} = \frac{14190}{45760} \approx 0.3094. ]

б) Вероятность того, что студент знает только два вопроса:

[ P(только\ 2) = \frac{\binom{K}{2} \cdot \binom{N-K}{1}}{\binom{N}{3}} = \frac{\binom{45}{2} \cdot \binom{15}{1}}{\binom{60}{3}} = \frac{990 \cdot 15}{45760} \approx 0.3246. ]

в) Вероятность того, что студент знает только один вопрос:

[ P(только\ 1) = \frac{\binom{K}{1} \cdot \binom{N-K}{2}}{\binom{N}{3}} = \frac{\binom{45}{1} \cdot \binom{15}{2}}{\binom{60}{3}} = \frac{45 \cdot 105}{45760} \approx 0.0983. ]

В итоге: а) ( P(все\ 3) \approx 0.3094 )
б) ( P(только\ 2) \approx 0.3246 )
в) ( P(только\ 1) \approx 0.0983 )

Давайте решим задачу с подробным объяснением.

Условие задачи:

Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Необходимо найти вероятность следующих событий:

1. Студент знает все три вопроса.
2. Студент знает только два вопроса.
3. Студент знает только один вопрос.

Для решения будем использовать комбинаторику и свойства вероятностей.

Общие данные:

Общее количество вопросов в программе: ( N = 60 ).
Количество вопросов, которые знает студент: ( K = 45 ).
Количество вопросов в экзаменационном билете: ( n = 3 ).

Вероятности будем находить, используя выборку из двух групп:

1. ( K = 45 ) — количество вопросов, которые студент знает.
2. ( N - K = 60 - 45 = 15 ) — количество вопросов, которые студент не знает.

Используем формулу для подсчёта числа сочетаний:
[ C(k, n) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}, ] где ( C(k, n) ) — число способов выбрать ( k ) объектов из ( n ).

1. Вероятность того, что студент знает все три вопроса.

Для того чтобы студент знал все три вопроса, нужно, чтобы все три вопроса из билета были из тех, которые студент знает (из 45 знакомых вопросов). Количество способов выбрать 3 вопроса из 45 равно: [ C(3, 45) = \frac{45!}{3! \cdot (45-3)!} = \frac{45 \cdot 44 \cdot 43}{6} = 14190. ]

Общее количество способов выбрать 3 вопроса из всех 60 вопросов: [ C(3, 60) = \frac{60!}{3! \cdot (60-3)!} = \frac{60 \cdot 59 \cdot 58}{6} = 34220. ]

Вероятность того, что студент знает все три вопроса, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: [ P(\text{знает все 3}) = \frac{C(3, 45)}{C(3, 60)} = \frac{14190}{34220} \approx 0.4146 \, (\text{или } 41.46\%). ]

2. Вероятность того, что студент знает только два вопроса.

Для этого события два вопроса из билета должны быть из тех, которые студент знает (( K = 45 )), а один вопрос — из тех, которые он не знает (( N - K = 15 )).

Количество способов выбрать 2 известных вопроса из 45: [ C(2, 45) = \frac{45!}{2! \cdot (45-2)!} = \frac{45 \cdot 44}{2} = 990. ]

Количество способов выбрать 1 неизвестный вопрос из 15: [ C(1, 15) = \frac{15!}{1! \cdot (15-1)!} = 15. ]

Общее количество благоприятных исходов: [ C(2, 45) \cdot C(1, 15) = 990 \cdot 15 = 14850. ]

Общее количество способов выбрать 3 вопроса из 60 (мы уже вычислили): [ C(3, 60) = 34220. ]

Вероятность того, что студент знает только два вопроса, равна: [ P(\text{знает только 2}) = \frac{C(2, 45) \cdot C(1, 15)}{C(3, 60)} = \frac{14850}{34220} \approx 0.4340 \, (\text{или } 43.40\%). ]

3. Вероятность того, что студент знает только один вопрос.

Для этого события один вопрос из билета должен быть из тех, которые студент знает (( K = 45 )), а два вопроса — из тех, которые он не знает (( N - K = 15 )).

Количество способов выбрать 1 известный вопрос из 45: [ C(1, 45) = \frac{45!}{1! \cdot (45-1)!} = 45. ]

Количество способов выбрать 2 неизвестных вопроса из 15: [ C(2, 15) = \frac{15!}{2! \cdot (15-2)!} = \frac{15 \cdot 14}{2} = 105. ]

Общее количество благоприятных исходов: [ C(1, 45) \cdot C(2, 15) = 45 \cdot 105 = 4725. ]

Общее количество способов выбрать 3 вопроса из 60 (мы уже знаем): [ C(3, 60) = 34220. ]

Вероятность того, что студент знает только один вопрос, равна: [ P(\text{знает только 1}) = \frac{C(1, 45) \cdot C(2, 15)}{C(3, 60)} = \frac{4725}{34220} \approx 0.1381 \, (\text{или } 13.81\%). ]

Ответы:

1. Вероятность того, что студент знает все три вопроса: ( P(\text{знает все 3}) \approx 0.4146 \, (\text{или } 41.46\%). )
2. Вероятность того, что студент знает только два вопроса: ( P(\text{знает только 2}) \approx 0.4340 \, (\text{или } 43.40\%). )
3. Вероятность того, что студент знает только один вопрос: ( P(\text{знает только 1}) \approx 0.1381 \, (\text{или } 13.81\%). )

Обратите внимание, что суммы вероятностей событий (знает 3, знает 2, знает 1) не составляют 100%, так как мы не учли случай, когда студент не знает ни одного вопроса.

Для решения данной задачи используем комбинаторный подход и формулы вероятности. Студент знает 45 из 60 вопросов, а каждый экзаменационный билет содержит 3 вопроса.

Обозначим:

• ( K = 45 ) — количество известных студенту вопросов,
• ( N = 60 ) — общее количество вопросов,
• ( B = 3 ) — количество вопросов в экзаменационном билете.

1. Общее количество способов выбрать 3 вопроса

Общее количество способов выбрать 3 вопроса из 60 можно найти с помощью комбинаторной формулы:

[ C(N, B) = \frac{N!}{B!(N-B)!} = \frac{60!}{3!(60-3)!} = \frac{60 \times 59 \times 58}{3 \times 2 \times 1} = 45760. ]

2. Вероятность того, что студент знает все три вопроса

Студент знает 45 вопросов, значит, чтобы выбрать 3 вопроса, которые он знает, мы можем использовать аналогичную формулу:

[ C(K, B) = \frac{K!}{B!(K-B)!} = \frac{45!}{3!(45-3)!} = \frac{45 \times 44 \times 43}{3 \times 2 \times 1} = 14190. ]

Вероятность того, что студент знает все три вопроса, равна отношению числа благоприятных исходов к общему количеству исходов:

[ P(\text{знает все три}) = \frac{C(K, B)}{C(N, B)} = \frac{14190}{45760} \approx 0.3103. ]

3. Вероятность того, что студент знает только два вопроса

Для того чтобы студент знал только 2 вопроса, нужно, чтобы он выбрал 2 вопроса из 45 известных и 1 вопрос из 15 незнакомых:

[ C(K, 2) = \frac{45!}{2!(45-2)!} = \frac{45 \times 44}{2 \times 1} = 990, ]

[ C(N-K, 1) = \frac{15!}{1!(15-1)!} = 15. ]

Общее количество способов выбрать 2 известных и 1 неизвестный вопрос:

[ C(K, 2) \cdot C(N-K, 1) = 990 \times 15 = 14850. ]

Вероятность того, что студент знает только два вопроса:

[ P(\text{знает только два}) = \frac{C(K, 2) \cdot C(N-K, 1)}{C(N, B)} = \frac{14850}{45760} \approx 0.3242. ]

4. Вероятность того, что студент знает только один вопрос

Для того чтобы студент знал только 1 вопрос, он должен выбрать 1 вопрос из 45 известных и 2 вопроса из 15 незнакомых:

[ C(K, 1) = 45, ]

[ C(N-K, 2) = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105. ]

Общее количество способов выбрать 1 известный и 2 неизвестных вопроса:

[ C(K, 1) \cdot C(N-K, 2) = 45 \times 105 = 4725. ]

Вероятность того, что студент знает только один вопрос:

[ P(\text{знает только один}) = \frac{C(K, 1) \cdot C(N-K, 2)}{C(N, B)} = \frac{4725}{45760} \approx 0.1032. ]

Результаты

Таким образом, мы получили следующие вероятности:

a) Вероятность того, что студент знает все три вопроса: ( P(\text{знает все три}) \approx 0.3103 ).

b) Вероятность того, что студент знает только два вопроса: ( P(\text{знает только два}) \approx 0.3242 ).

c) Вероятность того, что студент знает только один вопрос: ( P(\text{знает только один}) \approx 0.1032 ).

Эти вероятности в сумме дают меньше 1, поскольку не рассматриваются ситуации, когда студент не знает ни одного вопроса.