Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 42,боковые ребра равны 75.найдите площадь...

Для нахождения площади поверхности правильной четырехугольной пирамиды необходимо вычислить площадь основания и площадь боковых граней.

1. Площадь основания (квадрата): [ S_{основания} = a^2 = 42^2 = 1764 ]

2. Для нахождения площади боковых граней, сначала найдем высоту боковой грани. Высота боковой грани можно найти с помощью теоремы Пифагора. Половина стороны основания: [ h_{основания} = \frac{a}{2} = \frac{42}{2} = 21 ]

Сторона бокового ребра равна 75. Теперь находим высоту боковой грани (h): [ h^2 + 21^2 = 75^2 \ h^2 + 441 = 5625 \ h^2 = 5625 - 441 = 5184 \ h = \sqrt{5184} = 72 ]

Теперь вычислим площадь одной боковой грани (треугольника): [ S_{боковой} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 72 = 1512 ]

Поскольку у пирамиды 4 боковые грани, общая площадь боковых граней: [ S_{боковые} = 4 \cdot 1512 = 6048 ]

1. Полная площадь поверхности пирамиды: [ S{поверхности} = S{основания} + S_{боковые} = 1764 + 6048 = 7812 ]

Таким образом, площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет 7812 квадратных единиц.

Для нахождения площади поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нужно сложить площадь основания и площадь всех её боковых граней.

Дано:

1. Стороны основания (квадрат): ( a = 42 ).
2. Боковые ребра: ( l = 75 ).

Расчёт:

1. Площадь основания

Основание пирамиды — квадрат. Его площадь вычисляется по формуле: [ S{\text{осн}} = a^2 ] Подставляем ( a = 42 ): [ S{\text{осн}} = 42^2 = 1764 ]

2. Площадь боковых граней

Боковая грань правильной четырехугольной пирамиды — это равнобедренный треугольник. Для нахождения площади одной грани нужно знать её высоту. Найдём высоту боковой грани.

Найдём длину высоты боковой грани (( h_{\text{бок}} )):

Высота боковой грани опускается из вершины треугольной грани на сторону основания (основание треугольника), которая равна ( a = 42 ). Так как основание пирамиды — квадрат, высота боковой грани делит сторону основания пополам: [ \frac{a}{2} = \frac{42}{2} = 21 ] Треугольник, образуемый боковой гранью, — равнобедренный. В нём ( l = 75 ) — боковые рёбра (гипотенуза), а ( \frac{a}{2} = 21 ) — половина основания.

Используем теорему Пифагора, чтобы найти высоту ( h{\text{бок}} ): [ l^2 = h{\text{бок}}^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2 ] Подставляем значения: [ 75^2 = h{\text{бок}}^2 + 21^2 ] [ 5625 = h{\text{бок}}^2 + 441 ] [ h{\text{бок}}^2 = 5625 - 441 = 5184 ] [ h{\text{бок}} = \sqrt{5184} = 72 ]

Найдём площадь одной боковой грани:

Площадь треугольника вычисляется по формуле: [ S{\text{треуг}} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высоту ] Основание треугольника равно ( a = 42 ), а высота ( h{\text{бок}} = 72 ). Подставляем: [ S_{\text{треуг}} = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 72 = 21 \cdot 72 = 1512 ]

Площадь всех боковых граней:

У правильной четырехугольной пирамиды 4 одинаковые боковые грани, поэтому площадь всех боковых граней: [ S{\text{бок}} = 4 \cdot S{\text{треуг}} = 4 \cdot 1512 = 6048 ]

3. Полная площадь поверхности пирамиды:

Складываем площадь основания и площадь боковых граней: [ S{\text{полн}} = S{\text{осн}} + S{\text{бок}} ] [ S{\text{полн}} = 1764 + 6048 = 7812 ]

Ответ:

Площадь поверхности пирамиды равна ( 7812 ).

Чтобы найти площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нужно учитывать как площадь основания, так и площадь боковых граней.

Шаг 1: Площадь основания

Основание правильной четырехугольной пирамиды является квадратом со стороной ( a = 42 ) см. Площадь квадрата вычисляется по формуле:

[ S_{осн} = a^2 = 42^2 = 1764 \text{ см}^2 ]

Шаг 2: Высота пирамиды

Боковое ребро ( b = 75 ) см. Чтобы найти площадь боковых граней, нам нужно найти высоту пирамиды ( h ) и высоту треугольной грани. Правильная четырехугольная пирамида имеет вертикальную высоту, которая опускается из вершины пирамиды до центра основания.

Сначала находим длину отрезка, соединяющего центр основания с вершиной квадрата. Центр квадрата находится на расстоянии ( \frac{a}{2} ) от каждой из его сторон. Поскольку квадрат имеет сторону 42 см, расстояние от центра основания до вершины квадрата равно:

[ r = \frac{a}{2} = \frac{42}{2} = 21 \text{ см} ]

Теперь применим теорему Пифагора для нахождения высоты пирамиды ( h ):

[ b^2 = h^2 + r^2 ]

Подставим известные значения:

[ 75^2 = h^2 + 21^2 ]

[ 5625 = h^2 + 441 ]

[ h^2 = 5625 - 441 = 5184 ]

[ h = \sqrt{5184} = 72 \text{ см} ]

Шаг 3: Площадь боковых граней

Каждая боковая грань — это равнобедренный треугольник, основание которого равно стороне основания ( a = 42 ) см, а высота равна высоте треугольника, опущенной из вершины на основание. Высота треугольника ( H ) может быть найдена из прямоугольного треугольника, образованного высотой ( h ) и половиной стороны основания ( r ):

[ H = \sqrt{b^2 - r^2} = \sqrt{75^2 - 21^2} = \sqrt{5625 - 441} = \sqrt{5184} = 72 \text{ см} ]

Площадь одной боковой грани:

[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 72 = 1512 \text{ см}^2 ]

Поскольку у нас 4 боковые грани, общая площадь боковых граней:

[ S{бок. общ} = 4 \cdot S{бок} = 4 \cdot 1512 = 6048 \text{ см}^2 ]

Шаг 4: Общая площадь поверхности

Теперь можем посчитать общую площадь поверхности пирамиды:

[ S{пов} = S{осн} + S_{бок. общ} = 1764 + 6048 = 7812 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет 7812 см².