Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 корень 3. Найдите объем пирамиды, если...

Чтобы найти объем правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно определить высоту пирамиды и использовать формулу объема.

Дано:

• Сторона основания ( a = 6\sqrt{3} ).
• Угол между боковой гранью и плоскостью основания ( \alpha = 60^\circ ).

Первым шагом найдем высоту пирамиды. Для этого рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой (высотой боковой грани) и радиусом вписанной окружности основания (апофемой основания).

1. Найдем апофему основания (радиус вписанной окружности):

   Для правильной четырехугольной пирамиды апофема основания ( r ) равен: [ r = \frac{a}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} ]

2. Найдем апофему боковой грани:

   С учетом того, что угол между боковой гранью и плоскостью основания составляет ( 60^\circ ), апофема боковой грани ( l ) образует прямоугольный треугольник с высотой пирамиды ( h ) и радиусом вписанной окружности ( r ).

   Используем тригонометрическую функцию косинуса: [ \cos(60^\circ) = \frac{r}{l} = \frac{3\sqrt{3}}{l} ] [ \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{l} \Rightarrow l = 6\sqrt{3} ]

3. Найдем высоту пирамиды:

   Используем тригонометрическую функцию синуса: [ \sin(60^\circ) = \frac{h}{l} = \frac{h}{6\sqrt{3}} ] [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{6\sqrt{3}} \Rightarrow h = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9 ]

4. Найдем объем пирамиды:

   Площадь основания ( S ) правильной четырехугольной пирамиды: [ S = a^2 = (6\sqrt{3})^2 = 108 ]

   Объем пирамиды ( V ) определяется формулой: [ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 108 \cdot 9 = 324 ]

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен 324 кубическим единицам.

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды необходимо использовать формулу:

V = (1/3) S h,

где V - объем пирамиды, S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Площадь основания пирамиды равна:

S = a^2,

где a - сторона основания пирамиды. В нашем случае a = 6√3, поэтому S = (6√3)^2 = 108.

Для нахождения высоты пирамиды необходимо разделить боковую сторону пирамиды на 2, чтобы получить прямоугольный треугольник. Затем, используя теорему Пифагора, находим высоту:

h = √(a^2 - (a/2)^2),

h = √((6√3)^2 - (6√3/2)^2) = √(108 - 27) = √81 = 9.

Теперь можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) 108 9 = 324.

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен 324 кубическим единицам.