Среди сотрудников фирмы 28% знают английский язык, 30% – немецкий, 42% – французский; английский и немецкий...

а) Для нахождения вероятности того, что сотрудник знает английский или немецкий, нужно сложить вероятности знания английского и немецкого и вычесть вероятность знания обоих языков, так как они уже были учтены дважды:

P(английский или немецкий) = P(английский) + P(немецкий) - P(английский и немецкий) = 0.28 + 0.30 - 0.08 = 0.50

б) Для нахождения вероятности того, что сотрудник знает английский, немецкий или французский, нужно сложить вероятности знания каждого языка, вычесть вероятности знания двух языков (каждой пары) и прибавить вероятность знания всех трех языков:

P(английский, немецкий или французский) = P(английский) + P(немецкий) + P(французский) - P(английский и немецкий) - P(английский и французский) - P(немецкий и французский) + P(английский, немецкий и французский) = 0.28 + 0.30 + 0.42 - 0.08 - 0.10 - 0.05 + 0.03 = 0.80

в) Для нахождения вероятности того, что сотрудник не знает ни один из языков, нужно вычесть из 1 вероятность того, что сотрудник хотя бы один язык:

P(не знает ни один язык) = 1 - (P(английский) + P(немецкий) + P(французский) - P(английский и немецкий) - P(английский и французский) - P(немецкий и французский) + P(английский, немецкий и французский)) = 1 - (0.28 + 0.30 + 0.42 - 0.08 - 0.10 - 0.05 + 0.03) = 0.20

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный сотрудник фирмы: а) знает английский или немецкий - 0.50 б) знает английский, немецкий или французский - 0.80 в) не знает ни один из перечисленных языков - 0.20

Для решения данной задачи воспользуемся формулой включений-исключений.

Обозначим:

• A - событие, что сотрудник знает английский язык,
• B - событие, что сотрудник знает немецкий язык,
• C - событие, что сотрудник знает французский язык.

Тогда вероятность того, что сотрудник знает английский или немецкий (a) равна: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.28 + 0.3 - 0.08 = 0.5.

Вероятность того, что сотрудник знает английский, немецкий или французский (b) равна: P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C) = 0.28 + 0.3 + 0.42 - 0.08 - 0.1 - 0.05 + 0.03 = 0.9.

И, наконец, вероятность того, что сотрудник не знает ни один из перечисленных языков (в) равна: P(не A ∩ не B ∩ не C) = 1 - P(A ∪ B ∪ C) = 1 - 0.9 = 0.1.

Таким образом, ответы на задачу: а) Вероятность того, что случайно выбранный сотрудник фирмы знает английский или немецкий - 0.5; б) Вероятность того, что сотрудник знает английский, немецкий или французский - 0.9; в) Вероятность того, что сотрудник не знает ни один из перечисленных языков - 0.1.

Для решения задач на вероятность, связанных с множествами, будем использовать формулы теории вероятностей и правила комбинаторики.

Обозначим:

• ( A ) — множество сотрудников, знающих английский язык.
• ( B ) — множество сотрудников, знающих немецкий язык.
• ( C ) — множество сотрудников, знающих французский язык.

Нам даны следующие вероятности:

• ( P(A) = 0.28 )
• ( P(B) = 0.30 )
• ( P(C) = 0.42 )
• ( P(A \cap B) = 0.08 )
• ( P(A \cap C) = 0.10 )
• ( P(B \cap C) = 0.05 )
• ( P(A \cap B \cap C) = 0.03 )

Для нахождения нужных вероятностей будем использовать формулы для объединения множеств:

(а) Вероятность того, что случайно выбранный сотрудник знает английский или немецкий

Используем формулу для объединения двух множеств: [ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) ]

Подставим данные: [ P(A \cup B) = 0.28 + 0.30 - 0.08 = 0.50 ]

Итак, вероятность того, что случайно выбранный сотрудник знает английский или немецкий, составляет 0.50 (или 50%).

(б) Вероятность того, что случайно выбранный сотрудник знает английский, немецкий или французский

Используем формулу для объединения трёх множеств: [ P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C) ]

Подставим данные: [ P(A \cup B \cup C) = 0.28 + 0.30 + 0.42 - 0.08 - 0.10 - 0.05 + 0.03 = 0.80 ]

Итак, вероятность того, что случайно выбранный сотрудник знает английский, немецкий или французский, составляет 0.80 (или 80%).

(в) Вероятность того, что случайно выбранный сотрудник не знает ни один из перечисленных языков

Вероятность того, что сотрудник знает хотя бы один из перечисленных языков, мы уже нашли в пункте (б): ( P(A \cup B \cup C) = 0.80 ).

Вероятность того, что сотрудник не знает ни один из этих языков, будет дополнительной вероятностью к событию ( A \cup B \cup C ): [ P(\overline{A \cup B \cup C}) = 1 - P(A \cup B \cup C) ]

Подставим данные: [ P(\overline{A \cup B \cup C}) = 1 - 0.80 = 0.20 ]

Итак, вероятность того, что случайно выбранный сотрудник не знает ни один из перечисленных языков, составляет 0.20 (или 20%).