Среди 20 лотерейных билетов имеется 3 выигрышных. Какова вероятность того, что среди двух взятых наугад...

Для решения данной задачи воспользуемся комбинаторикой и формулой вычисления вероятности.

Обозначим:

• ( N = 20 ) — общее количество лотерейных билетов,
• ( W = 3 ) — количество выигрышных билетов,
• ( L = N - W = 17 ) — количество проигрышных билетов.

а) Вероятность того, что среди двух взятых наугад билетов окажется только один выигрышный билет.

Чтобы найти эту вероятность, сначала определим общее количество способов выбрать 2 билета из 20:

[ C(N, 2) = C(20, 2) = \frac{20 \cdot 19}{2} = 190 ]

Теперь найдем количество способов выбрать 1 выигрышный и 1 проигрышный билет. Для этого мы можем выбрать 1 выигрышный билет из 3 и 1 проигрышный билет из 17:

[ C(W, 1) \cdot C(L, 1) = C(3, 1) \cdot C(17, 1) = 3 \cdot 17 = 51 ]

Теперь вероятность того, что среди двух выбранных билетов окажется только один выигрышный, равна отношению числа благоприятных исходов к общему количеству исходов:

[ P(1 \text{ выигрышный}) = \frac{C(W, 1) \cdot C(L, 1)}{C(N, 2)} = \frac{51}{190} ]

б) Вероятность того, что среди двух взятых наугад билетов окажется хотя бы один выигрышный билет.

Для этого удобнее использовать метод дополнения. Сначала найдем вероятность того, что среди двух взятых билетов не окажется ни одного выигрышного.

Количество способов выбрать 2 проигрышных билета из 17:

[ C(L, 2) = C(17, 2) = \frac{17 \cdot 16}{2} = 136 ]

Теперь вероятность того, что среди двух выбранных билетов не окажется ни одного выигрышного, равна:

[ P(0 \text{ выигрышных}) = \frac{C(L, 2)}{C(N, 2)} = \frac{136}{190} ]

Следовательно, вероятность того, что среди двух выбранных билетов окажется хотя бы один выигрышный билет, равна:

[ P(\text{хотя бы 1 выигрышный}) = 1 - P(0 \text{ выигрышных}) = 1 - \frac{136}{190} = \frac{54}{190} = \frac{27}{95} ]

Ответы:

а) Вероятность того, что среди двух взятых наугад билетов окажется только один выигрышный билет: ( \frac{51}{190} ).

б) Вероятность того, что среди двух взятых наугад билетов окажется хотя бы один выигрышный билет: ( \frac{27}{95} ).

Рассмотрим задачу подробно.

У нас есть 20 лотерейных билетов, из которых 3 являются выигрышными, а 17 — невыигрышными. Мы случайным образом выбираем 2 билета. Требуется найти вероятность следующих событий:

а) Вероятность того, что только один из двух билетов окажется выигрышным.

Для решения этой задачи можно воспользоваться комбинаторикой. Сначала определим общее количество способов выбрать 2 билета из 20:

[ C_{20}^2 = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20 \cdot 19}{2} = 190 ]

Это общее число возможных пар билетов.

Теперь рассмотрим событие "только один билет выигрышный". Чтобы это произошло:

1. Один билет должен быть выигрышным (выбор из 3 выигрышных билетов).
2. Второй билет должен быть невыигрышным (выбор из 17 невыигрышных билетов).

Количество способов выбрать один выигрышный билет из 3:

[ C_3^1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = 3 ]

Количество способов выбрать один невыигрышный билет из 17:

[ C_{17}^1 = \frac{17!}{1!(17-1)!} = 17 ]

Общее число благоприятных исходов (выбор одного выигрышного и одного невыигрышного билета):

[ C3^1 \cdot C{17}^1 = 3 \cdot 17 = 51 ]

Вероятность события "только один выигрышный билет" равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов:

[ P(\text{только один выигрышный}) = \frac{51}{190} ]

Упростим дробь:

[ P(\text{только один выигрышный}) = \frac{51}{190} \approx 0.2684 \, (26.84\%) ]

б) Вероятность того, что хотя бы один из двух билетов окажется выигрышным.

Событие "хотя бы один билет выигрышный" включает два возможных исхода:

1. Один билет выигрышный, а второй невыигрышный.
2. Оба билета выигрышные.

Для нахождения этой вероятности удобнее воспользоваться правилом дополнения: вероятность "хотя бы одного выигрышного" равна 1 минус вероятность того, что ни один билет не выигрышный.

1. Найдём вероятность события "оба билета невыигрышные".

Чтобы оба билета оказались невыигрышными, нужно выбрать оба билета из 17 невыигрышных. Общее количество способов выбрать 2 билета из 17:

[ C_{17}^2 = \frac{17!}{2!(17-2)!} = \frac{17 \cdot 16}{2} = 136 ]

Таким образом, вероятность того, что оба билета невыигрышные, равна:

[ P(\text{оба невыигрышные}) = \frac{C{17}^2}{C{20}^2} = \frac{136}{190} ]

Упростим дробь:

[ P(\text{оба невыигрышные}) = \frac{136}{190} = \frac{68}{95} \approx 0.7158 \, (71.58\%) ]

2. Найдём вероятность события "хотя бы один билет выигрышный".

Теперь воспользуемся правилом дополнения:

[ P(\text{хотя бы один выигрышный}) = 1 - P(\text{оба невыигрышные}) ]

Подставляем вычисленные значения:

[ P(\text{хотя бы один выигрышный}) = 1 - \frac{68}{95} = \frac{95}{95} - \frac{68}{95} = \frac{27}{95} ]

Или в десятичной форме:

[ P(\text{хотя бы один выигрышный}) \approx 0.2842 \, (28.42\%) ]