Сократить дробь (3x^2-7x+2)/(2-6x)

Для сокращения дроби (\frac{3x^2 - 7x + 2}{2 - 6x}) начнем с упрощения числителя и знаменателя.

1. Факторизация числителя: Найдем корни квадратного трехчлена (3x^2 - 7x + 2).

   Решим уравнение (3x^2 - 7x + 2 = 0) через дискриминант. Для квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0), дискриминант (D = b^2 - 4ac).

   Подставим значения: [ a = 3, \quad b = -7, \quad c = 2 ] [ D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 ]

   Так как (D > 0), уравнение имеет два корня: [ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 5}{6} = 2 ] [ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 5}{6} = \frac{1}{3} ]

   Таким образом, (3x^2 - 7x + 2) можно разложить как: [ 3x^2 - 7x + 2 = 3(x - 2)(x - \frac{1}{3}) ]

2. Упрощение знаменателя: Преобразуем (2 - 6x) для лучшего сопоставления с числителем: [ 2 - 6x = -6(x - \frac{1}{3}) ]

3. Сокращение дроби: Теперь подставим факторизованные формы в дробь: [ \frac{3x^2 - 7x + 2}{2 - 6x} = \frac{3(x - 2)(x - \frac{1}{3})}{-6(x - \frac{1}{3})} ]

   Отменяем (3(x - \frac{1}{3})) в числителе и знаменателе, оставляя: [ = \frac{x - 2}{-2} = \frac{2 - x}{2} ]

Итак, сокращенная форма дроби (\frac{3x^2 - 7x + 2}{2 - 6x}) равна (\frac{2 - x}{2}).

Для сокращения данной дроби (3x^2-7x+2)/(2-6x) нужно сначала разложить числитель на множители и найти их корни, чтобы привести к каноническому виду. Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта для квадратного уравнения.

Сначала найдем корни числителя: Уравнение 3x^2 - 7x + 2 = 0 имеет вид ax^2 + bx + c = 0. Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 432 = 49 - 24 = 25. Корни уравнения: x1 = (7 + √25) / 6 = 2, x2 = (7 - √25) / 6 = 1/3.

Теперь разложим числитель на множители: 3x^2 - 7x + 2 = 3(x - 2)(x - 1/3).

Теперь подставим разложенный числитель в исходное выражение: (3(x - 2)(x - 1/3)) / (2 - 6x).

Теперь можно сократить дробь, выделив общий множитель x - 2: (3(x - 2)(x - 1/3)) / (2 - 6x) = 3(x - 1/3) / (-2(3x - 1)) = -3(x - 1/3) / 2(3x - 1).

Таким образом, дробь (3x^2-7x+2)/(2-6x) после сокращения примет вид -3(x - 1/3) / 2(3x - 1).