Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x)= C(x^2+2x) в интервале (0;1),вне этого интервала...

Для начала найдем параметр С. Поскольку задана плотность вероятности случайной величины, она должна удовлетворять условию нормировки:

$$ \int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx = 1. $$

Так как вне интервала (0; 1) функция f(x) равна нулю, интеграл можно считать только по интервалу (0; 1):

$$ \int_0^1 C(x^2 + 2x) \, dx = 1. $$

Вычислим этот интеграл:

$$ \int_0^1 (x^2 + 2x) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} + x^2\right]_0^1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}. $$

Теперь подставим этот результат в условие нормировки:

$$ C \cdot \frac{4}{3} = 1 \Rightarrow C = \frac{3}{4}. $$

Теперь найдем математическое ожидание случайной величины X. Оно определяется как:

$$ E[X] = \int_{-\infty}^\infty x f(x) \, dx. $$

Снова, так как вне интервала (0; 1) функция f(x) равна нулю, интеграл можно считать только по интервалу (0; 1):

$$ E[X] = \int_0^1 x \cdot \frac{3}{4}(x^2 + 2x) \, dx = \frac{3}{4} \int_0^1 (x^3 + 2x^2) \, dx. $$

Вычислим этот интеграл:

$$ \int_0^1 (x^3 + 2x^2) \, dx = \left[\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12}. $$

Тогда математическое ожидание равно:

$$ E[X] = \frac{3}{4} \cdot \frac{11}{12} = \frac{33}{48} = \frac{11}{16}. $$

Итак, параметр C равен (\frac{3}{4}), а математическое ожидание случайной величины X равно (\frac{11}{16}).

Параметр C равен 6, а математическое ожидание случайной величины X равно 5/3.

Для нахождения параметра C воспользуемся условием нормировки плотности распределения: ∫f(x)dx = 1 ∫C(x^2 + 2x)dx = 1 C∫(x^2 + 2x)dx = 1 C[(x^3)/3 + x^2] | от 0 до 1 = 1 C[(1^3)/3 + 1^2] - C[(0^3)/3 + 0^2] = 1 C(1/3 + 1) = 1 C(4/3) = 1 C = 3/4

Теперь найдем математическое ожидание случайной величины X: E(X) = ∫xf(x)dx E(X) = ∫x3/4(x^2 + 2x)dx E(X) = ∫3/4(x^3 + 2x^2)dx E(X) = 3/4[(x^4)/4 + (2x^3)/3] | от 0 до 1 E(X) = 3/4((1^4)/4 + 2(1^3)/3) - 3/4((0^4)/4 + 2(0^3)/3) E(X) = 3/4(1/4 + 2/3) - 0 E(X) = 3/4*(7/12) E(X) = 7/16

Итак, параметр C равен 3/4, а математическое ожидание случайной величины X равно 7/16.