Скорость движения точки изменяется по закону V= ( 3t2 + 2t + 1 ) м/с. Найти путь, пройденный точкой...

Для нахождения пути, пройденного точкой за 10 с от начала движения, нужно проинтегрировать закон изменения скорости по времени. Поскольку путь равен интегралу скорости по времени, то для данного случая формула будет выглядеть следующим образом:

S = ∫(3t^2 + 2t + 1) dt

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

∫3t^2 dt = t^3 ∫2t dt = t^2 ∫1 dt = t

Теперь объединяем все интегралы:

S = t^3 + t^2 + t

Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования (от 0 до 10 с):

S(10) = 10^3 + 10^2 + 10 S(0) = 0^3 + 0^2 + 0

Теперь вычисляем разность между верхним и нижним пределом:

S(10) - S(0) = 1000 + 100 + 10 - 0 = 1110 м

Таким образом, путь, пройденный точкой за 10 с от начала движения, составляет 1110 метров.

Для того, чтобы найти путь, пройденный точкой за 10 секунд, нам нужно вычислить интеграл от функции скорости V(t) = 3t^2 + 2t + 1 на интервале от 0 до 10 секунд. Путь, пройденный точкой, будет равен этому интегралу, так как путь - это интеграл скорости по времени.

1. Запишем интеграл: [ S = \int_0^{10} (3t^2 + 2t + 1) \, dt. ]

2. Найдём первообразную функции скорости: [ \int (3t^2 + 2t + 1) \, dt = t^3 + t^2 + t + C, ] где ( C ) - константа интегрирования. Она не влияет на результат определённого интеграла, поэтому её можно опустить при вычислении.

3. Подставим пределы интегрирования: [ S = \left[t^3 + t^2 + t \right]_0^{10} = (10^3 + 10^2 + 10) - (0 + 0 + 0) = 1000 + 100 + 10 = 1110. ]

Итак, путь, пройденный точкой за 10 секунд, составляет 1110 метров.