Для того чтобы найти пройденный путь точкой за четвертую секунду, нам нужно определить путь, пройденный за интервал времени от t = 3 секунды до t = 4 секунды.
Путь, пройденный точкой, равен интегралу от скорости по времени. Исходная функция скорости дана как v = 9t^2 - 8t.
Поэтому, чтобы найти путь s, пройденный за интересующий нас интервал времени, мы вычислим определенный интеграл от функции скорости на интервале от 3 до 4 секунд:
[ s = \int_{3}^{4} (9t^2 - 8t) \, dt ]
Раскроем этот интеграл:
[ s = \int{3}^{4} 9t^2 \, dt - \int{3}^{4} 8t \, dt ]
Интегрируем каждый член по отдельности:
1) (\int 9t^2 \, dt = 3t^3)
2) (\int 8t \, dt = 4t^2)
Подставляем пределы интегрирования:
[ s = (3 \times 4^3 - 4 \times 4^2) - (3 \times 3^3 - 4 \times 3^2) ]
[ s = (3 \times 64 - 4 \times 16) - (3 \times 27 - 4 \times 9) ]
[ s = (192 - 64) - (81 - 36) ]
[ s = 128 - 45 ]
[ s = 83 \text{ метров} ]
Таким образом, пройденный путь точкой за четвертую секунду составляет 83 метра.