Сколько существует натуральных чисел, не больших, чем 99, которые не делятся ни на 2,ни на 3?

Чтобы найти количество натуральных чисел, не превышающих 99, которые не делятся ни на 2, ни на 3, можно использовать принцип включения-исключения.

1. Натуральные числа до 99: Сначала определим общее количество натуральных чисел от 1 до 99. Это просто 99 чисел.

2. Числа, делящиеся на 2: Чтобы найти количество чисел, делящихся на 2, можно воспользоваться формулой: [ n = \left\lfloor \frac{99}{2} \right\rfloor = 49 ] Это значит, что существует 49 чисел, делящихся на 2 (2, 4, 6, ., 98).

3. Числа, делящиеся на 3: Аналогично, количество чисел, делящихся на 3, будет: [ n = \left\lfloor \frac{99}{3} \right\rfloor = 33 ] Это значит, что существует 33 числа, делящихся на 3 (3, 6, 9, ., 99).

4. Числа, делящиеся на 6 (2 и 3): Теперь найдем количество чисел, которые делятся на оба числа (то есть на 6): [ n = \left\lfloor \frac{99}{6} \right\rfloor = 16 ] Это значит, что существует 16 чисел, делящихся на 6 (6, 12, 18, ., 96).

5. Применение принципа включения-исключения: Теперь мы можем найти количество чисел, которые делятся на 2 или 3: [ N(2 \cup 3) = N(2) + N(3) - N(2 \cap 3) ] Подставим значения: [ N(2 \cup 3) = 49 + 33 - 16 = 66 ]

6. Числа, не делящиеся ни на 2, ни на 3: Теперь мы можем определить количество чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 3: [ N(\text{не } (2 \cup 3)) = 99 - N(2 \cup 3) = 99 - 66 = 33 ]

Таким образом, количество натуральных чисел, не больших чем 99 и не делящихся ни на 2, ни на 3, составляет 33.

Для решения задачи найдем количество натуральных чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 3, и не превышают 99. Применим метод исключений (или "включений-исключений") из комбинаторики.

1. Определим общее количество чисел

Натуральные числа, не большие 99, — это числа от 1 до 99 включительно. Их общее количество равно:

[ 99 ]

2. Найдем количество чисел, делящихся на 2

Числа, делящиеся на 2, образуют арифметическую прогрессию: ( 2, 4, 6, ., 98 ), где разность — 2. Чтобы найти количество таких чисел, воспользуемся формулой ( a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d ) для последнего члена прогрессии:

[ 98 = 2 + (n - 1) \cdot 2 \implies 98 = 2n \implies n = 49 ]

Таким образом, 49 чисел делятся на 2.

3. Найдем количество чисел, делящихся на 3

Числа, делящиеся на 3, образуют арифметическую прогрессию: ( 3, 6, 9, ., 99 ), где разность — 3. Аналогично:

[ 99 = 3 + (n - 1) \cdot 3 \implies 99 = 3n \implies n = 33 ]

Таким образом, 33 числа делятся на 3.

4. Найдем количество чисел, делящихся на 6 (наименьшее общее кратное 2 и 3)

Числа, делящиеся на 6, образуют арифметическую прогрессию: ( 6, 12, 18, ., 96 ), где разность — 6. Аналогично:

[ 96 = 6 + (n - 1) \cdot 6 \implies 96 = 6n \implies n = 16 ]

Таким образом, 16 чисел делятся на 6.

5. Применим принцип включений-исключений

Числа, делящиеся на 2 или на 3, можно найти по формуле:

[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| ]

Где:

• ( |A| = 49 ) — количество чисел, делящихся на 2,
• ( |B| = 33 ) — количество чисел, делящихся на 3,
• ( |A \cap B| = 16 ) — количество чисел, делящихся на 6.

Подставим значения:

[ |A \cup B| = 49 + 33 - 16 = 66 ]

Таким образом, 66 чисел делятся либо на 2, либо на 3.

6. Найдем количество чисел, не делящихся ни на 2, ни на 3

Общее количество чисел от 1 до 99 равно 99. Числа, которые не делятся ни на 2, ни на 3, получим вычитанием:

[ 99 - 66 = 33 ]

Ответ:

Существует 33 натуральных числа, не больших 99, которые не делятся ни на 2, ни на 3.

Эти числа: (1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 55, 59, 61, 65, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 89, 91, 95, 97).