Сколько имеется различных пятизначных чисел, некратных десяти, в записи которых использованы все чётные...

Для решения этой задачи начнем с анализа, какие четные цифры мы можем использовать при формировании пятизначного числа. Четные цифры от 0 до 9: 0, 2, 4, 6, 8. Всего у нас 5 четных цифр.

Поскольку мы должны составить пятизначное число, в котором используются все четные цифры, и при этом число не должно быть кратным десяти, мы должны учесть несколько условий:

1. Первая цифра не может быть 0: Пятизначное число не может начинаться с нуля, так как в этом случае оно станет четырехзначным. Таким образом, первой цифрой может быть 2, 4, 6 или 8.

2. Число не должно быть кратным 10: Это означает, что последняя цифра не может быть 0.

Теперь давайте разберем возможные варианты:

Шаг 1: Выбор первой цифры

Первая цифра может быть одной из следующих: 2, 4, 6, 8. Это дает нам 4 варианта для первой цифры.

Шаг 2: Выбор последней цифры

Последняя цифра, как уже было сказано, не может быть 0. Если первая цифра уже выбрана, то для последней цифры мы можем использовать любую из оставшихся четных цифр, кроме 0 и первой цифры. То есть, если первая цифра выбрана, будет:

• Если первой цифрой является 2, то последняя может быть 4, 6, или 8 (всего 3 варианта).
• Если первой цифрой является 4, то последняя может быть 2, 6, или 8 (всего 3 варианта).
• Если первой цифрой является 6, то последняя может быть 2, 4, или 8 (всего 3 варианта).
• Если первой цифрой является 8, то последняя может быть 2, 4, или 6 (всего 3 варианта).

Таким образом, для каждой из 4 возможных первых цифр у нас есть 3 варианта для последней цифры.

Шаг 3: Выбор средних цифр

Теперь у нас остаются 3 цифры, которые мы можем поставить на средние позиции (вторую, третью и четвертую). Эти 3 цифры могут быть расположены в любом порядке, и количество способов их перестановки будет равно 3! (факториал 3).

Подсчёт общего количества чисел

Теперь мы можем подсчитать общее количество различных пятизначных чисел, следуя формуле: [ \text{Общее количество} = (\text{Количество вариантов для первой цифры}) \times (\text{Количество вариантов для последней цифры}) \times (\text{Количество перестановок для средних цифр}) ]

Подставим значения:

• Количество вариантов для первой цифры = 4
• Количество вариантов для последней цифры = 3
• Количество перестановок для средних цифр = 3! = 6

Таким образом, общее количество различных пятизначных чисел, некратных десяти и использующих все четные цифры по одному разу: [ 4 \times 3 \times 6 = 72 ]

Ответ

Итак, количество различных пятизначных чисел, некратных десяти, в записи которых использованы все четные цифры по одному разу, равно 72.

Чтобы найти количество различных пятизначных чисел, некратных десяти, в записи которых использованы все четные цифры по одному разу, сначала определим четные цифры: 0, 2, 4, 6, 8.

Поскольку нам нужно составить пятизначное число, мы можем использовать все пять четных цифр, но так как число не может заканчиваться на 0 (иначе оно будет кратным десяти), 0 не может быть на последней позиции.

1. Выбор последней цифры: Поскольку число не может заканчиваться на 0, у нас есть 4 варианта для последней цифры: 2, 4, 6, 8.

2. Расположение остальных цифр: После выбора последней цифры, у нас останется 4 цифры, из которых мы можем составить 4! (факториал) различных комбинаций.

Теперь посчитаем общее количество чисел:

• 4 варианта для последней цифры,
• 4! способов расставить оставшиеся цифры.

Итак, общее количество пятизначных чисел будет равно:

[ 4 \times 4! = 4 \times 24 = 96. ]

Таким образом, имеется 96 различных пятизначных чисел, некратных десяти, в записи которых использованы все четные цифры по одному разу.

Давайте разберёмся с задачей шаг за шагом.

Условие:

1. Мы ищем пятизначные числа, которые:
   • Используют все чётные цифры (0, 2, 4, 6, 8) по одному разу.
   • Не кратны 10. Это значит, что последняя цифра числа не может быть 0, так как числа, кратные 10, всегда оканчиваются на 0.

Решение:

1. Перестановки всех чётных цифр

В нашей задаче есть 5 уникальных чётных цифр: ( 0, 2, 4, 6, 8 ). Любое пятизначное число, составленное из этих цифр, будет использовать их все ровно один раз. Чтобы узнать, сколько таких чисел всего можно составить, нужно найти количество перестановок для 5 элементов.

Формула для перестановок: [ P(n) = n! ] Где ( n ) — количество элементов.

Для 5 элементов: [ P(5) = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 ]

Итак, всего из пяти уникальных чётных цифр можно составить 120 различных чисел.

2. Условие некратности 10

Для того чтобы число не было кратным 10, его последняя цифра не должна быть 0. Это значит, что из всех перестановок нам нужно исключить те, где последняя цифра — 0.

• Шаг 1. Зафиксируем 0 на последнем месте. Если 0 фиксируется как последняя цифра, оставшиеся 4 цифры (( 2, 4, 6, 8 )) можно переставлять любым образом. Количество таких перестановок: [ P(4) = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 ]

Таким образом, существует 24 числа, заканчивающихся на 0, которые нужно исключить.

• Шаг 2. Вычитаем числа, кратные 10. От общего количества пятизначных чисел (120) отнимаем те, которые заканчиваются на 0: [ 120 - 24 = 96 ]

Ответ:

Существует 96 различных пятизначных чисел, которые:

1. Состоят из всех чётных цифр (( 0, 2, 4, 6, 8 )) без повторений.
2. Не кратны 10.

Дополнительное пояснение:

• Условие "использовать все чётные цифры по одному разу" означает, что порядок цифр меняется, но сами цифры неизменны (( 0, 2, 4, 6, 8 )).
• Условие "некратности 10" исключает только те случаи, где последняя цифра — 0.
• Оставшиеся 96 чисел заканчиваются на ( 2, 4, 6 ) или ( 8 ), что автоматически делает их некратными 10.