Sinx= -корень из 2 /2 Найти корни уравнения ( подробное решение)

Для решения уравнения (\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}) найдем все углы (x), для которых значение синуса равно (-\frac{\sqrt{2}}{2}).

1. Определение основного угла: (\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}) указывает на то, что угол (x) должен быть в квадрантах, где синус отрицателен. Синус отрицателен во 3-ем и 4-ом квадрантах.

2. Основные углы: Зная значения синуса для стандартных углов, мы можем определить, что (\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}) соответствует углам (-\frac{\pi}{4}) (или (-45^\circ)). Однако этот угол находится в четвертом квадранте. Для третьего квадранта можно использовать угол (\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}).

3. Общие решения: [ x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ] Эти выражения включают все возможные углы (x), для которых (\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}), поскольку синус является периодической функцией с периодом (2\pi).

4. Дополнительное упрощение: Угол (-\frac{\pi}{4}) можно преобразовать в положительное значение, добавив (2\pi) (так как (2\pi) — это полный круг):

   [ -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} ]

   Таким образом, мы можем записать решения следующим образом:

   [ x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Итак, корни уравнения (\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}) будут:

[ x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Эти решения включают все значения (x), для которых синус равен (-\frac{\sqrt{2}}{2}), учитывая периодичность функции синуса.

Для начала, найдем все углы, удовлетворяющие уравнению sinx = -√2/2. Так как sinx имеет значение -√2/2 в третьем и четвертом квадрантах, то у нас есть два угла, удовлетворяющих данному условию:

1) x = 5π/4 + 2πk, где k - любое целое число. 2) x = 7π/4 + 2πk, где k - любое целое число.

Теперь найдем все корни уравнения sinx = -√2/2, то есть значения x, при которых sinx равен -√2/2. Так как синус является периодической функцией с периодом 2π, то корни уравнения будут представлять собой смещенные на период значения углов, найденных выше.

Таким образом, все корни уравнения sinx = -√2/2 будут иметь вид: x = 5π/4 + 2πk, где k - любое целое число, x = 7π/4 + 2πk, где k - любое целое число.

Таким образом, мы нашли все корни уравнения sinx = -√2/2 и представили их в общем виде.