Sin3x+Sinx=0 Решите пожалуйста!

Чтобы решить уравнение (\sin(3x) + \sin(x) = 0), воспользуемся тригонометрическими тождествами и методами алгебраического разложения.

1. Используем формулу суммы синусов:

[ \sin(A) + \sin(B) = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A - B}{2}\right) ]

Для нашего случая (A = 3x) и (B = x):

[ \sin(3x) + \sin(x) = 2 \sin\left(\frac{3x + x}{2}\right) \cos\left(\frac{3x - x}{2}\right) ]

1. Подставляем (A) и (B) в формулу:

[ \sin(3x) + \sin(x) = 2 \sin\left(\frac{4x}{2}\right) \cos\left(\frac{2x}{2}\right) ]

[ \sin(3x) + \sin(x) = 2 \sin(2x) \cos(x) ]

Таким образом, наше уравнение приобретает вид:

[ 2 \sin(2x) \cos(x) = 0 ]

1. Разделим уравнение на два множителя:

[ 2 \sin(2x) \cos(x) = 0 ]

Это уравнение будет равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

[ \sin(2x) = 0 \quad \text{или} \quad \cos(x) = 0 ]

1. Рассмотрим первое уравнение:

[ \sin(2x) = 0 ]

Синус равен нулю в точках (k\pi), где (k) — целое число:

[ 2x = k\pi ]

Решая это уравнение для (x):

[ x = \frac{k\pi}{2} ]

где (k \in \mathbb{Z}) (целое число).

1. Рассмотрим второе уравнение:

[ \cos(x) = 0 ]

Косинус равен нулю в точках (\frac{\pi}{2} + n\pi), где (n) — целое число:

[ x = \frac{\pi}{2} + n\pi ]

где (n \in \mathbb{Z}) (целое число).

Итак, объединяя решения, получаем:

[ x = \frac{k\pi}{2} \quad \text{и} \quad x = \frac{\pi}{2} + n\pi \quad \text{где} \quad k, n \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, возможные значения (x) являются:

[ x = \frac{k\pi}{2} \quad \text{и} \quad x = \frac{(2n+1)\pi}{2} \quad \text{где} \quad k, n \in \mathbb{Z} ]

Это и есть общее решение уравнения (\sin(3x) + \sin(x) = 0).

Для решения уравнения Sin3x + Sinx = 0 нужно преобразовать его с помощью формулы синуса суммы, затем применить формулу синуса тройного угла. Получится уравнение Sinx(3cos^2x + 1) = 0. Отсюда Sinx = 0 и cosx = -1/√3. Таким образом, решение уравнения: x = kπ, где k - целое число.

Для решения уравнения sin(3x) + sin(x) = 0, мы можем воспользоваться формулой синуса суммы:

sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB

Применяя эту формулу к уравнению sin(3x) + sin(x), получаем:

sin(3x) + sin(x) = 2sin(2x)cos(x)

Теперь уравнение принимает вид:

2sin(2x)cos(x) = 0

Так как произведение двух чисел равно нулю только в том случае, если хотя бы одно из чисел равно нулю, мы можем рассмотреть два возможных случая:

1) sin(2x) = 0 2) cos(x) = 0

Решим эти уравнения по отдельности:

1) sin(2x) = 0 Для этого уравнения существует два набора решений: 2x = kπ, где k - целое число x = kπ/2, где k - целое число

2) cos(x) = 0 Для этого уравнения также существуют два набора решений: x = (2k + 1)π/2, где k - целое число

Таким образом, общее решение уравнения sin(3x) + sin(x) = 0 будет представлено объединением решений из пунктов 1 и 2:

x = kπ/2, (2k + 1)π/2, где k - целое число.