Решите систему уравнений: x^2-y^2=8 x-y=4

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом сложения/вычитания. В данном случае удобнее воспользоваться методом сложения/вычитания.

1. Умножим второе уравнение на (-1), чтобы получить уравнение вида x - y = -4.
2. Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением x^2 - y^2 = 8. Получим систему: x^2 - y^2 = 8 x - y = -4
3. Преобразуем первое уравнение к виду (x + y)(x - y) = 8. Подставим вместо x - y значение из второго уравнения: (x + y)(-4) = 8. Получим уравнение: -4x - 4y = 8
4. Теперь сложим это уравнение с вторым уравнением x - y = -4: -4x - 4y + x - y = 8 - 4 -3x - 5y = 4
5. Решим полученное уравнение относительно y: y = (-3x - 4) / 5
6. Подставим значение y во второе уравнение x - y = -4: x - ((-3x - 4) / 5) = -4 5x + 3x + 4 = -20 8x = -24 x = -3
7. Теперь найдем значение y: y = (-3*(-3) - 4) / 5 y = (9 - 4) / 5 y = 1

Итак, решение системы уравнений x^2 - y^2 = 8 и x - y = 4: x = -3, y = 1.

Чтобы решить систему уравнений

[ \begin{cases} x^2 - y^2 = 8 \ x - y = 4 \end{cases} ]

мы можем воспользоваться методом подстановки или методом исключения. В данном случае удобно использовать метод подстановки.

1. Из второго уравнения выразим одну переменную через другую. Из уравнения (x - y = 4) выразим (x):

   [ x = y + 4 ]

2. Подставим выражение для (x) в первое уравнение:

   [ (y + 4)^2 - y^2 = 8 ]

3. Раскроем скобки и упростим выражение:

   [ (y + 4)^2 = y^2 + 8y + 16 ]

   Подставим это в уравнение:

   [ y^2 + 8y + 16 - y^2 = 8 ]

4. Сократим (y^2) и упростим уравнение:

   [ 8y + 16 = 8 ]

5. Выразим (y):

   [ 8y = 8 - 16 ]

   [ 8y = -8 ]

   [ y = -1 ]

6. Теперь, зная (y = -1), найдем (x) используя выражение из второго уравнения:

   [ x = y + 4 = -1 + 4 = 3 ]

Таким образом, решение системы уравнений:

[ x = 3, \quad y = -1 ]

Подставим найденные значения (x) и (y) в обе исходные уравнения, чтобы убедиться в правильности решения:

Первое уравнение:

[ x^2 - y^2 = 3^2 - (-1)^2 = 9 - 1 = 8 ]

Второе уравнение:

[ x - y = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4 ]

Оба уравнения выполняются, следовательно, решение верное: (x = 3), (y = -1).