Решите неравенство (x+3)(x-7)<0

Чтобы решить неравенство ((x+3)(x-7) < 0), давайте рассмотрим значения (x), при которых произведение двух множителей ((x+3)) и ((x-7)) будет отрицательным. Это означает, что один из множителей должен быть положительным, а другой отрицательным.

1. Найдем нули каждого множителя:

   • (x+3 = 0) при (x = -3)
   • (x-7 = 0) при (x = 7)

2. Определим знаки произведения на различных интервалах:

   • Когда (x < -3), оба множителя отрицательны ((x+3 < 0) и (x-7 < 0)), поэтому их произведение положительно.
   • Когда (-3 < x < 7), множитель (x+3) положителен ((x+3 > 0)) и множитель (x-7) отрицателен ((x-7 < 0)), что означает, что их произведение отрицательно.
   • Когда (x > 7), оба множителя положительны ((x+3 > 0) и (x-7 > 0)), и их произведение также положительно.

3. Интервалы знакопостоянства:

   • Произведение ((x+3)(x-7)) отрицательно на интервале ((-3, 7)).

Таким образом, решением неравенства ((x+3)(x-7) < 0) является интервал (x \in (-3, 7)). Это означает, что (x) должен быть больше (-3) и меньше (7).

Для решения данного неравенства нужно найти интервалы значений переменной x, при которых неравенство (x+3)(x-7) < 0 будет выполняться.

1. Найдем корни уравнения (x+3)(x-7) = 0: x+3 = 0 => x = -3 x-7 = 0 => x = 7

2. Построим знаковую таблицу, разделив ось чисел на интервалы с корнями -3 и 7: x < -3, -3 < x < 7, x > 7 Подставим в неравенство произвольные значения из каждого интервала: 1) x = -4: (-4+3)(-4-7) = (-1)(-11) = 11 > 0 2) x = 0: (0+3)(0-7) = (3)(-7) = -21 < 0 3) x = 8: (8+3)(8-7) = (11)(1) = 11 > 0

Таким образом, неравенство (x+3)(x-7) < 0 выполняется для x принадлежащих интервалу -3 < x < 7.