Решите неравенство (х+9) (х-5)>0

Рассмотрим неравенство ((x + 9)(x - 5) > 0). Разберем его по шагам:

1. Найдем нули произведения

Нули произведения (точки, где выражение равно нулю) находятся при (x + 9 = 0) и (x - 5 = 0). Решим каждое из них:

• (x + 9 = 0 \Rightarrow x = -9),
• (x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5).

Эти точки ((x = -9) и (x = 5)) разбивают числовую прямую на три промежутка:

• (x \in (-\infty, -9)),
• (x \in (-9, 5)),
• (x \in (5, \infty)).

2. Определим знак произведения на каждом промежутке

Для определения знака выражения ((x + 9)(x - 5)) в каждом из указанных промежутков, достаточно взять тестовые точки из каждого интервала и подставить их в неравенство.

Промежуток 1: (x \in (-\infty, -9))

Выберем тестовую точку, например, (x = -10): [ (x + 9)(x - 5) = (-10 + 9)(-10 - 5) = (-1)(-15) = 15 > 0. ] Значит, на интервале ((- \infty, -9)) выражение положительное.

Промежуток 2: (x \in (-9, 5))

Выберем тестовую точку, например, (x = 0): [ (x + 9)(x - 5) = (0 + 9)(0 - 5) = (9)(-5) = -45 < 0. ] Значит, на интервале ((-9, 5)) выражение отрицательное.

Промежуток 3: (x \in (5, \infty))

Выберем тестовую точку, например, (x = 10): [ (x + 9)(x - 5) = (10 + 9)(10 - 5) = (19)(5) = 95 > 0. ] Значит, на интервале ((5, \infty)) выражение положительное.

3. Учитываем строгую неравенство

Так как неравенство строгое ((> 0)), точки (x = -9) и (x = 5), где выражение обращается в ноль, не входят в решение.

4. Записываем ответ

Выражение ((x + 9)(x - 5) > 0) выполняется на промежутках, где произведение положительно: [ x \in (-\infty, -9) \cup (5, \infty). ]

Ответ: (x \in (-\infty, -9) \cup (5, \infty)).

Чтобы решить неравенство ((x + 9)(x - 5) > 0), начнем с нахождения нулей выражения. Это происходит, когда произведение равно нулю, то есть:

[ (x + 9)(x - 5) = 0 ]

Решим каждое из уравнений:

1. (x + 9 = 0 \Rightarrow x = -9)
2. (x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5)

Таким образом, нули функции — это (x = -9) и (x = 5).

Теперь эти точки разбивают числовую прямую на три интервала:

1. ((- \infty, -9))
2. ((-9, 5))
3. ((5, + \infty))

Следующий шаг — определить знак выражения ((x + 9)(x - 5)) на каждом из этих интервалов. Для этого выберем по одному тестовому значению из каждого интервала.

Интервал 1: ((- \infty, -9))

Выберем (x = -10):

[ (-10 + 9)(-10 - 5) = (-1)(-15) = 15 > 0 ]

Интервал 2: ((-9, 5))

Выберем (x = 0):

[ (0 + 9)(0 - 5) = (9)(-5) = -45 < 0 ]

Интервал 3: ((5, + \infty))

Выберем (x = 6):

[ (6 + 9)(6 - 5) = (15)(1) = 15 > 0 ]

Теперь мы знаем, что:

• На интервале ((- \infty, -9)) выражение положительно.
• На интервале ((-9, 5)) выражение отрицательно.
• На интервале ((5, + \infty)) выражение положительно.

Подведение итогов

Мы ищем, где ((x + 9)(x - 5) > 0). Это происходит на интервалах:

1. ((- \infty, -9))
2. ((5, + \infty))

Таким образом, решение неравенства ((x + 9)(x - 5) > 0) можно записать в виде:

[ x \in (-\infty, -9) \cup (5, +\infty) ]

Это и есть окончательный ответ.

Чтобы решить неравенство ((x + 9)(x - 5) > 0), найдем нули выражения:

1. (x + 9 = 0 \Rightarrow x = -9)
2. (x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5)

Теперь определим интервалы, на которых знаки произведения будут положительными. Рассмотрим интервалы: ((-∞, -9)), ((-9, 5)) и ((5, +∞)).

• Для интервала ((-∞, -9)): выберем (x = -10): ((-10 + 9)(-10 - 5) = (-1)(-15) > 0) — положительно.
• Для интервала ((-9, 5)): выберем (x = 0): ((0 + 9)(0 - 5) = (9)(-5) < 0) — отрицательно.
• Для интервала ((5, +∞)): выберем (x = 6): ((6 + 9)(6 - 5) = (15)(1) > 0) — положительно.

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах ((-∞, -9)) и ((5, +∞)).

Ответ: (x \in (-∞, -9) \cup (5, +∞)).