Решите неравенство: 9log(x^2+x-2) по основанию 7 меньше или равно 10+log((x-1)^9/x+2) по основанию 7

Решим данное неравенство:

[ 9 \log_7(x^2 + x - 2) \leq 10 + \log_7\left(\frac{(x-1)^9}{x+2}\right). ]

Первым шагом преобразуем логарифмы в неравенстве, используя свойства логарифмов.

1. Упростим вторую часть неравенства:

   [ \log_7\left(\frac{(x-1)^9}{x+2}\right) = \log_7((x-1)^9) - \log_7(x+2). ]

   Поскольку (\log_7((x-1)^9) = 9 \log_7(x-1)), то

   [ \log_7\left(\frac{(x-1)^9}{x+2}\right) = 9 \log_7(x-1) - \log_7(x+2). ]

2. Подставим во все неравенство:

   [ 9 \log_7(x^2 + x - 2) \leq 10 + 9 \log_7(x-1) - \log_7(x+2). ]

3. Переносим все логарифмы на одну сторону:

   [ 9 \log_7(x^2 + x - 2) - 9 \log_7(x-1) + \log_7(x+2) \leq 10. ]

4. Объединим логарифмы:

   [ \log_7\left(\frac{(x^2 + x - 2)^9 \cdot (x+2)}{(x-1)^9}\right) \leq 10. ]

5. Уберём логарифм, сравнив аргументы:

   [ \frac{(x^2 + x - 2)^9 \cdot (x+2)}{(x-1)^9} \leq 7^{10}. ]

Теперь решим неравенство, чтобы найти допустимые значения (x).

1. Рассмотрим допустимость выражений:

   • (x^2 + x - 2 > 0) раскладывается на множители: ((x-1)(x+2) > 0), что даёт (x < -2) или (x > 1).
   • (x+2 > 0) даёт (x > -2).
   • (x-1 > 0) даёт (x > 1).

   Следовательно, (x > 1).

2. Решаем неравенство без степеней:

   Теперь, зная область допустимых значений, решим следующее:

   [ \frac{(x^2 + x - 2)^9 \cdot (x+2)}{(x-1)^9} \leq 7^{10}. ]

   Упростим выражение: [ \frac{(x-1)^9(x+2)^9 \cdot (x+2)}{(x-1)^9} = (x+2)^{10}. ]

   Получаем: [ (x+2)^{10} \leq 7^{10}. ]

3. Сравниваем выражения:

   [ x+2 \leq 7. ]

   [ x \leq 5. ]

4. Объединяем условия:

   Учитывая область допустимых значений и решение неравенства, получаем:

   [ 1 < x \leq 5. ]

Таким образом, решение неравенства: (x \in (1, 5]).

Для начала перепишем неравенство в эквивалентной форме: 9log7(x^2+x-2) ≤ 10+log7((x-1)^9/x+2)

Преобразуем логарифмы: log7((x^2+x-2)^9) ≤ log7(7^10 * (x-1)^9/(x+2))

Сравниваем аргументы логарифмов: (x^2+x-2)^9 ≤ 7^10 * (x-1)^9/(x+2)

Теперь возведем обе части в степень 1/9: x^2+x-2 ≤ (7^10 * (x-1)/(x+2))^(1/9)

Решаем полученное неравенство.

x ∈ (-∞, -2) ∪ (-2, 1) ∪ (1, +∞)