Решите неравенства методом интервалов (x+8)(x-10)<0 (X^2-25)(x+11)=<(меньше или равно)

1) Для решения неравенства (x+8)(x-10) < 0 методом интервалов нужно найти корни уравнения (x+8)(x-10) = 0, которые равны x = -8 и x = 10. Затем построить таблицу знаков и найти интервалы, на которых неравенство выполняется. Ответ: -8 < x < 10.

2) Для решения неравенства (x^2 - 25)(x + 11) ≤ 0 методом интервалов нужно найти корни уравнения (x^2 - 25)(x + 11) = 0, которые равны x = -5, x = 5 и x = -11. Затем построить таблицу знаков и найти интервалы, на которых неравенство выполняется. Ответ: -11 ≤ x ≤ -5, 5 ≤ x.

Для решения неравенства (x+8)(x-10)

Конечно! Давайте решим оба неравенства методом интервалов.

1. Решение неравенства ((x+8)(x-10) < 0)

1. Найдем нули функции: (x+8 = 0 \Rightarrow x = -8)
   (x-10 = 0 \Rightarrow x = 10)

2. Разобьем числовую ось на интервалы, используя найденные значения: [ -\infty < x < -8, \quad -8 < x < 10, \quad 10 < x < \infty ]

3. Определим знак произведения на каждом из интервалов:

   • Для интервала ((-∞, -8)):
     Выберем тестовую точку (x = -9): [ (x+8)(x-10) = (-9+8)(-9-10) = (-1)(-19) = 19 > 0 ] Здесь знак (+).

   • Для интервала ((-8, 10)):
     Выберем тестовую точку (x = 0): [ (x+8)(x-10) = (0+8)(0-10) = 8 \cdot (-10) = -80 < 0 ] Здесь знак (-).

   • Для интервала ((10, ∞)):
     Выберем тестовую точку (x = 11): [ (x+8)(x-10) = (11+8)(11-10) = 19 \cdot 1 = 19 > 0 ] Здесь знак (+).

4. Запишем решение:

   ((x+8)(x-10) < 0) на интервале ((-8, 10)).

   Ответ: (x \in (-8, 10)).

2. Решение неравенства ((x^2-25)(x+11) \leq 0)

1. Найдем нули функции: (x^2 - 25 = 0 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x = 5) или (x = -5)
   (x+11 = 0 \Rightarrow x = -11)

2. Разобьем числовую ось на интервалы, используя найденные значения: [ -\infty < x < -11, \quad -11 < x < -5, \quad -5 < x < 5, \quad 5 < x < \infty ]

3. Определим знак произведения на каждом из интервалов:

   • Для интервала ((-∞, -11)):
     Выберем тестовую точку (x = -12): [ (x^2-25)(x+11) = ((-12)^2-25)(-12+11) = (144-25)(-1) = 119 \cdot (-1) = -119 < 0 ] Здесь знак (-).

   • Для интервала ((-11, -5)):
     Выберем тестовую точку (x = -6): [ (x^2-25)(x+11) = ((-6)^2-25)(-6+11) = (36-25)(5) = 11 \cdot 5 = 55 > 0 ] Здесь знак (+).

   • Для интервала ((-5, 5)):
     Выберем тестовую точку (x = 0): [ (x^2-25)(x+11) = (0^2-25)(0+11) = -25 \cdot 11 = -275 < 0 ] Здесь знак (-).

   • Для интервала ((5, ∞)):
     Выберем тестовую точку (x = 6): [ (x^2-25)(x+11) = (6^2-25)(6+11) = (36-25)(17) = 11 \cdot 17 = 187 > 0 ] Здесь знак (+).

4. Запишем решение: [ (x^2-25)(x+11) \leq 0 ] включает нули функции: (x = -11), (x = -5), и (x = 5).

   Следовательно, решение включает интервалы, на которых произведение меньше или равно нулю: [ x \in [-11, -5] \cup [-5, 5] ]

   Ответ: (x \in [-11, -5] \cup [-5, 5]).