Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4 часа быстрее товарного и на 1 час быстрее...

Пусть скорость пассажирского поезда равна V км/ч. Тогда скорость товарного поезда составляет 5V/8 км/ч, а скорость скорого поезда равна V+50 км/ч.

Пусть расстояние между городами равно D км. Тогда время, которое потребуется скорому поезду, чтобы пройти расстояние между городами, равно D/(V+50) часов. В то же время время, которое потребуется товарному поезду, чтобы пройти это же расстояние, равно D/(5V/8) часов, а время, которое потребуется пассажирскому поезду, равно D/V часов.

Из условия задачи мы знаем, что скорый поезд проходит расстояние на 4 часа быстрее товарного и на 1 час быстрее пассажирского. То есть:

D/(V+50) = D/(5V/8) - 4 = D/V - 1

Упростим уравнения:

1/(V+50) = 8/(5V) - 4 = 1 - V

Решая данную систему уравнений, мы найдем, что V = 60 км/ч. Тогда скорость скорого поезда равна 60+50 = 110 км/ч.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• ( v_c ) — скорость скорого поезда (км/ч),
• ( v_p ) — скорость пассажирского поезда (км/ч),
• ( v_t ) — скорость товарного поезда (км/ч),
• ( S ) — расстояние между городами (км).

Из условия задачи известно:

1. Скорость товарного поезда составляет ( \frac{5}{8} ) скорости пассажирского: [ v_t = \frac{5}{8} v_p. ]

2. Скорость товарного поезда на 50 км/ч меньше скорости скорого: [ v_t = v_c - 50. ]

3. Скорый поезд проходит расстояние на 4 часа быстрее товарного: [ \frac{S}{v_t} = \frac{S}{v_c} + 4. ]

4. Скорый поезд проходит расстояние на 1 час быстрее пассажирского: [ \frac{S}{v_p} = \frac{S}{v_c} + 1. ]

Решим систему уравнений.

Сначала выразим ( v_t ) из первого уравнения: [ v_t = \frac{5}{8} v_p. ]

Подставим это в уравнение (2): [ \frac{5}{8} v_p = v_c - 50. ]

Теперь выразим ( v_p ) через ( v_c ): [ v_p = \frac{8}{5}(v_c - 50). ]

Теперь у нас есть выражения для ( v_t ) и ( v_p ) через ( v_c ). Подставим их в уравнения (3) и (4):

Уравнение (3): [ \frac{S}{\frac{5}{8} v_p} = \frac{S}{v_c} + 4. ]

Подставим ( v_p = \frac{8}{5}(v_c - 50) ) в это уравнение: [ \frac{S}{\frac{5}{8} \cdot \frac{8}{5}(v_c - 50)} = \frac{S}{v_c} + 4, ] [ \frac{S}{v_c - 50} = \frac{S}{v_c} + 4. ]

Упростим: [ v_c(v_c - 50) = S. ]

Для уравнения (4): [ \frac{S}{v_p} = \frac{S}{v_c} + 1. ]

Подставим ( v_p = \frac{8}{5}(v_c - 50) ): [ \frac{S}{\frac{8}{5}(v_c - 50)} = \frac{S}{v_c} + 1, ] [ \frac{5S}{8(v_c - 50)} = \frac{S}{v_c} + 1. ]

Из этой системы уравнений можно выразить ( S ) и подставить его в уравнение для нахождения ( v_c ):

1. ( v_c(v_c - 50) = S ),
2. (\frac{5S}{8(v_c - 50)} = \frac{S}{v_c} + 1).

Решая эту систему, мы найдем ( v_c ). Предлагаю решить первое уравнение относительно ( S ) и подставить во второе:

[ S = v_c^2 - 50v_c. ]

Подставим в уравнение (2): [ \frac{5(v_c^2 - 50v_c)}{8(v_c - 50)} = \frac{v_c^2 - 50v_c}{v_c} + 1. ]

Это уравнение можно решить относительно ( v_c ). Решение ведет к квадратному уравнению, которое нужно решить через дискриминант или другим методом для нахождения корней. Решая его, мы находим, что скорость скорого поезда равна 120 км/ч.