Против течения катер прошел 21,98 км за 1,4ч , а по течению - 51,12 км за 2,4ч. Найдите собственную...

Рассмотрим задачу о движении катера против течения и по течению. Давайте разберем её подробно, чтобы ответить на вопрос.

1. Введение переменных

Пусть:

• ( v ) — собственная скорость катера (в км/ч),
• ( u ) — скорость течения реки (в км/ч).

Мы знаем, что:

• При движении против течения, общая скорость катера относительно берега равна ( v - u ),
• При движении по течению, общая скорость катера относительно берега равна ( v + u ).

2. Сведения из задачи

Из условия даны:

1. Против течения: расстояние ( S_1 = 21{,}98 ) км, время ( t1 = 1{,}4 ) ч.
   Используем формулу скорости:
   [ v{\text{против}} = \frac{S_1}{t1}. ] Подставляя значения:
   [ v{\text{против}} = \frac{21{,}98}{1{,}4} = 15,7 \, \text{км/ч}. ] Значит, ( v - u = 15,7 ).

2. По течению: расстояние ( S_2 = 51{,}12 ) км, время ( t2 = 2{,}4 ) ч.
   Используем ту же формулу:
   [ v{\text{по}} = \frac{S_2}{t2}. ] Подставляя значения:
   [ v{\text{по}} = \frac{51{,}12}{2{,}4} = 21,3 \, \text{км/ч}. ] Значит, ( v + u = 21,3 ).

3. Система уравнений

Мы получили две ключевые зависимости:

1. ( v - u = 15,7 ),
2. ( v + u = 21,3 ).

Решим эту систему уравнений.

4. Решение системы уравнений

Сложим оба уравнения, чтобы исключить ( u ):
[ (v - u) + (v + u) = 15,7 + 21,3. ] [ 2v = 37. ] [ v = 18,5 \, \text{км/ч}. ]

Теперь подставим ( v = 18,5 ) в одно из уравнений, например, ( v - u = 15,7 ):
[ 18,5 - u = 15,7. ] [ u = 18,5 - 15,7. ] [ u = 2,8 \, \text{км/ч}. ]

5. Ответ

Собственная скорость катера:
[ v = 18,5 \, \text{км/ч}. ]

Скорость течения реки:
[ u = 2,8 \, \text{км/ч}. ]

6. Проверка

1. Против течения: скорость ( v - u = 18,5 - 2,8 = 15,7 \, \text{км/ч} ).
   Время: ( t = \frac{S_1}{v - u} = \frac{21,98}{15,7} = 1,4 \, \text{ч} ) — совпадает.

2. По течению: скорость ( v + u = 18,5 + 2,8 = 21,3 \, \text{км/ч} ).
   Время: ( t = \frac{S_2}{v + u} = \frac{51,12}{21,3} = 2,4 \, \text{ч} ) — совпадает.

Таким образом, ответ верен:
Собственная скорость катера: 18,5 км/ч.
Скорость течения реки: 2,8 км/ч.

Давайте обозначим:

• ( v_k ) — собственная скорость катера (в км/ч);
• ( v_t ) — скорость течения реки (в км/ч).

Когда катер движется против течения, его эффективная скорость составляет ( v_k - v_t ). Когда он движется по течению, его эффективная скорость равна ( v_k + v_t ).

Исходя из условий задачи, мы можем записать два уравнения:

1. Против течения: [ v_k - v_t = \frac{21,98 \text{ км}}{1,4 \text{ ч}} \implies v_k - v_t = 15,7 \text{ км/ч} ]

2. По течению: [ v_k + v_t = \frac{51,12 \text{ км}}{2,4 \text{ ч}} \implies v_k + v_t = 21,3 \text{ км/ч} ]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. ( v_k - v_t = 15,7 )
2. ( v_k + v_t = 21,3 )

Чтобы решить эту систему, мы можем сложить оба уравнения: [ (v_k - v_t) + (v_k + v_t) = 15,7 + 21,3 ] [ 2v_k = 37 \implies v_k = \frac{37}{2} = 18,5 \text{ км/ч} ]

Теперь подставим значение ( v_k ) в одно из уравнений, чтобы найти ( v_t ). Используем первое уравнение: [ 18,5 - v_t = 15,7 ] [ v_t = 18,5 - 15,7 = 2,8 \text{ км/ч} ]

Таким образом, мы нашли:

• Собственная скорость катера ( v_k = 18,5 \text{ км/ч} )
• Скорость течения реки ( v_t = 2,8 \text{ км/ч} )

Эти значения удовлетворяют и обоим условиям задачи.