При каком m векторы a=i+j+mk, b=j+i+(m+1) и c=i-j+mk компланарны?

Векторы a, b и c будут компланарными, если их смешанное произведение равно нулю. Смешанное произведение трех векторов a, b и c определяется как определитель матрицы, составленной из координат этих векторов:

| i j k | | 1 1 m | | 1 1 m+1 |

Вычислим определитель этой матрицы:

(i(1(m+1) - (m(1)) - j(1(m) - (m+1)1) + k(11 - 11)) = (i(m+1) - m - j(m-1) + k(1 - 1)) = (i(m+1) - m - j(m-1))

Теперь приравняем это выражение к нулю и решим уравнение:

i(m+1) - m - j(m-1) = 0

m + i - m - j = 0

i - j = 0

Таким образом, векторы a, b и c будут компланарными при любом значении m, при условии, что i = j.

Векторы a, b и c компланарны при m=-1.

Для того чтобы векторы ( \mathbf{a} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + m\mathbf{k} ), ( \mathbf{b} = \mathbf{j} + \mathbf{i} + (m+1)\mathbf{k} ) и ( \mathbf{c} = \mathbf{i} - \mathbf{j} + m\mathbf{k} ) были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю.

Смешанное произведение трех векторов ( \mathbf{a} ), ( \mathbf{b} ) и ( \mathbf{c} ) определяется как:

[ [\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}] = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) ]

Где ( \mathbf{b} \times \mathbf{c} ) — векторное произведение векторов ( \mathbf{b} ) и ( \mathbf{c} ).

Первым шагом найдем векторное произведение ( \mathbf{b} \times \mathbf{c} ):

[ \mathbf{b} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + (m+1)\mathbf{k} ] [ \mathbf{c} = \mathbf{i} - \mathbf{j} + m\mathbf{k} ]

Вычислим определитель:

[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 1 & 1 & m+1 \ 1 & -1 & m \end{vmatrix} ]

Раскроем этот определитель:

[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \mathbf{i}(1 \cdot m - (-1)(m+1)) - \mathbf{j}(1 \cdot m - (m+1)) + \mathbf{k}(1(-1) - 1) ]

[ = \mathbf{i}(m + m + 1) - \mathbf{j}(m - m - 1) + \mathbf{k}(-1 - 1) ]

[ = \mathbf{i}(2m + 1) + \mathbf{j}(1) - \mathbf{k}(2) ]

Теперь найдем скалярное произведение ( \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) ):

[ \mathbf{a} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + m\mathbf{k} ]

[ \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{i} + \mathbf{j} + m\mathbf{k}) \cdot ((2m + 1)\mathbf{i} + \mathbf{j} - 2\mathbf{k}) ]

Выполним скалярное произведение:

[ = 1(2m + 1) + 1 \cdot 1 + m(-2) ]

[ = 2m + 1 + 1 - 2m ]

[ = 2 ]

Для компланарности необходимо, чтобы смешанное произведение было равно нулю:

[ 2 = 0 ]

Здесь очевидно, что вычисления не привели к нулю. Вероятно, в вычислении векторного произведения или последующих шагах была допущена ошибка. Перепроверим шаги вычислений, особенно векторного произведения, чтобы гарантировать точность и корректность результата. Если при перепроверке ошибка не найдена и результат остается ненулевым, значит, векторы не могут быть компланарны для любого ( m ) в данной постановке.