При каких значениях х имеет смысл выражение: корень из (-х^2)

Давайте разберем выражение (\sqrt{-x^2}) и определим, при каких значениях (x) оно имеет смысл.

1. Анализ выражения (-x^2):

• Внутри корня стоит выражение (-x^2).
• Здесь (x^2) — это квадрат числа (x), который всегда больше или равен нулю ((x^2 \geq 0)).
• Значит, (-x^2) всегда меньше или равно нулю ((-x^2 \leq 0)).

2. Условие существования квадратного корня:

• В математике квадратный корень (\sqrt{y}) определён для чисел (y \geq 0), если речь идёт о вещественных числах.
• Поскольку внутри корня у нас (-x^2), а оно всегда (\leq 0), выражение (\sqrt{-x^2}) не имеет смысла в вещественных числах, за исключением случая, когда (-x^2 = 0).

3. Когда (-x^2 = 0)?

• (-x^2 = 0), если (x^2 = 0).
• А (x^2 = 0) выполняется только при (x = 0).

Таким образом, в вещественных числах выражение (\sqrt{-x^2}) имеет смысл только при (x = 0), и в этом случае оно равно (0).

4. Если рассматривать комплексные числа:

• В комплексной математике можно определить квадратный корень из отрицательных чисел. Это делается с помощью мнимой единицы (i), где (i^2 = -1).
• Тогда (-x^2) можно записать как (-x^2 = -(x^2) = x^2 \cdot (-1)).
• Квадратный корень из (-x^2) будет: [ \sqrt{-x^2} = \sqrt{x^2 \cdot (-1)} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{-1} = |x| \cdot i, ] где (|x|) — модуль числа (x).

Таким образом, в комплексной области выражение (\sqrt{-x^2}) имеет смысл для любых значений (x), и его значение будет (i|x|).

Итог:

1. В вещественных числах: (\sqrt{-x^2}) имеет смысл только при (x = 0).
2. В комплексных числах: (\sqrt{-x^2} = i|x|), и выражение определено для любого (x).

Выражение (\sqrt{-x^2}) имеет смысл, когда (-x^2 \geq 0). Это выполняется только при (x = 0). Таким образом, значение (x) должно быть равно 0.

Чтобы определить, при каких значениях ( x ) имеет смысл выражение ( \sqrt{-x^2} ), нужно рассмотреть, когда подкоренное выражение является неотрицательным, так как корень из отрицательного числа не имеет смысла в пределах действительных чисел.

Подкоренное выражение в данном случае — это ( -x^2 ). Чтобы выяснить, когда оно неотрицательно, рассмотрим следующее неравенство:

[ -x^2 \geq 0 ]

Умножим обе стороны неравенства на -1 (при этом знак неравенства изменится):

[ x^2 \leq 0 ]

Квадрат любого действительного числа ( x ) всегда неотрицателен, то есть ( x^2 \geq 0 ). Таким образом, единственное значение, при котором ( x^2 ) равно нулю, это ( x = 0 ).

Следовательно, неравенство ( x^2 \leq 0 ) выполняется только при ( x = 0 ).

Теперь подставим это значение обратно в исходное выражение:

[ \sqrt{-0^2} = \sqrt{0} = 0 ]

Таким образом, выражение ( \sqrt{-x^2} ) имеет смысл только при ( x = 0 ). Для всех других значений ( x ) (как положительных, так и отрицательных) подкоренное выражение становится отрицательным, и следовательно, корень не определяется.

Итак, выражение ( \sqrt{-x^2} ) имеет смысл только при ( x = 0 ).